Calcolo Esempi

$\sin (x) - x \cos (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin (x) - x \cos (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

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Passaggio 2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Passaggio 2.1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.1.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Passaggio 2.1.4.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 2.1.4.2.3

Sottrai $\cos (x)$ da $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

Passaggio 2.1.4.2.4

Somma $x \sin (x)$ e $0$ .

$f' (x) = x \sin (x)$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x \sin (x)$ .

$x \sin (x)$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x \sin (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 3.4.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.4.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.4.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x \sin (x) = 0$ vera.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

Consolida le risposte.

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Passaggio 3.6.1

Combina $0$ e $2 π n$ in $2 π n$ .

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6.2

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $π n$ .

$π n$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = x \sin (x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, π n)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π n - 1$ nell'espressione.

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $- 1 \sin (π n - 1)$ come $- \sin (π n - 1)$ .

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ .

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = π n - 1$ la derivata è $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, π n)$ .

Decrescente su $(- \infty, π n)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(π n, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π n + 1$ nell'espressione.

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 7.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\sin (π n + 1)$ per $1$ .

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ .

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = π n + 1$ la derivata è $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(π n, \infty)$ .

Crescente su $(π n, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(π n, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, π n)$

Passaggio 9