Calcolo Esempi

$\sin (x) + 9$

Passaggio 1

Scrivi $\sin (x) + 9$ come funzione.

$f (x) = \sin (x) + 9$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\cos (x) + 0$

Passaggio 2.1.3.2

Somma $\cos (x)$ e $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\cos (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 3.5.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.5.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.5.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.5.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.6

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.7

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \cos (x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \sin (x) + 9$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + π n - 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Passaggio 6.4

In corrispondenza di $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ la derivata è $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + π n + 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Passaggio 7.4

In corrispondenza di $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ la derivata è $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$

Passaggio 9