Calcolo Esempi

$\arctan (x^{2} - 2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $\arctan (x^{2} - 2 x)$ come funzione.

$f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 2.1.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$

Passaggio 2.1.2.5.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $2 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Imposta $2 x - 2$ uguale a $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $2 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 2$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.3.1

Dividi $2$ per $2$ .

$x = 1$

Passaggio 3.4

Imposta $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ uguale a $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ vera.

$x = 1$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1$ .

$1$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {({(0)}^{2} - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 + 0)}^{2}})$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Passaggio 6.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Passaggio 6.2.1.4

Somma $1$ e $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Passaggio 6.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = (2 (0) - 2) \cdot 1$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Moltiplica $2 (0) - 2$ per $1$ .

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Passaggio 6.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Passaggio 6.2.2.2.3

Sottrai $2$ da $0$ .

$f' (0) = - 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 2$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {({(2)}^{2} - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Passaggio 7.2.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 4)}^{2}})$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Passaggio 7.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Passaggio 7.2.1.4

Somma $1$ e $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Passaggio 7.2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (2) = (2 (2) - 2) \cdot 1$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Moltiplica $2 (2) - 2$ per $1$ .

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Passaggio 7.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Passaggio 7.2.2.2.3

Sottrai $2$ da $4$ .

$f' (2) = 2$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(1, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 1)$

Passaggio 9