Calcolo Esempi

$2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Passaggio 1

Scrivi $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ come funzione.

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $2 \cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 2.1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 2.1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Passaggio 2.1.4

Riordina i termini.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (θ)$ rispetto a $θ$ è $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) - 2 \sin (θ) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $2 \sin (θ)$ da $2 \sin (θ) (- \cos (θ)) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $\sin (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 3.4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - 0$

Passaggio 3.4.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$θ = π$

Passaggio 3.4.2.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.4.2.6

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5

Imposta $- \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $- \cos (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$- \cos (θ) - 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $- \cos (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (θ) = 1$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (θ) = 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2.2.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\cos (θ) = - 1$

Passaggio 3.5.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (- 1)$

Passaggio 3.5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$θ = π$

Passaggio 3.5.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π - π$

Passaggio 3.5.2.6

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$θ = π$

Passaggio 3.5.2.7

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.5.2.8

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (θ) (- \cos (θ) - 1) = 0$ vera.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.7

Consolida le risposte.

$θ = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $π n$ .

$π n$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, π n)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $π n - 1$ nell'espressione.

$f' (π n - 1) = - 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ .

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Passaggio 6.4

In corrispondenza di $θ = π n - 1$ la derivata è $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, π n)$ .

Decrescente su $(- \infty, π n)$ perché $f' (θ) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(π n, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $θ$ con $π n + 1$ nell'espressione.

$f' (π n + 1) = - 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ .

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Passaggio 7.4

In corrispondenza di $θ = π n + 1$ la derivata è $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(π n, \infty)$ .

Decrescente su $(π n, \infty)$ perché $f' (θ) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Passaggio 9