Calcolo Esempi

$\frac{x^{4}}{x - 15}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{4}}{x - 15}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x - 15}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x - 15$ .

$\frac{(x - 15) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{(x - 15) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x - 15$ .

$\frac{4 \cdot (x - 15) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.1.2

Moltiplica $4$ per $- 15$ .

$\frac{4 x^{4} - 60 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sottrai $x^{4}$ da $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4

Scomponi $3 x^{3}$ da $3 x^{4} - 60 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1

Scomponi $3 x^{3}$ da $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Scomponi $3 x^{3}$ da $- 60 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.4.3

Scomponi $3 x^{3}$ da $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x^{3} (x - 20) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 20 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.3.2.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 3.3.3

Imposta $x - 20$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $x - 20$ uguale a $0$ .

$x - 20 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $20$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 20$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x^{3} (x - 20) = 0$ vera.

$x = 0, 20$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 20$ .

$0, 20$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 15)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Poni $x - 15$ uguale a $0$ .

$x - 15 = 0$

Passaggio 5.2.2

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 15$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 15) \cup (15, 20) \cup (20, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} ((- 1) - 20)}{{((- 1) - 15)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sottrai $20$ da $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} \cdot - 21}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 21$ per $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 {(- 1)}^{3}}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $15$ da $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 16)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{256}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 63$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{63}{256}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{63}{256}$ .

$\frac{63}{256}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $\frac{63}{256}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 15)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{15}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 {(\frac{15}{2})}^{3} ((\frac{15}{2}) - 20)}{{((\frac{15}{2}) - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 (\frac{15^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

$3$ e $\frac{15^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Per scrivere $- 20$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.4

$- 20$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.6.1

Moltiplica $- 20$ per $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 40}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.6.2

Sottrai $40$ da $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 25}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{25}{2}))}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.8.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{25}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8.2

Moltiplica $\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}}$ per $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 15^{3} \cdot 25}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8.3

Moltiplica $25$ per $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8.4

Moltiplica $2^{3}$ per $2$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.8.4.1

Moltiplica $2^{3}$ per $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.8.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.8.4.2

Somma $3$ e $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.9

Eleva $15$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.11

Moltiplica $75$ per $3375$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Per scrivere $- 15$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

$- 15$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Moltiplica $- 15$ per $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 30}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Sottrai $30$ da $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- \frac{15}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.6

Applica la regola del prodotto a $- \frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{15^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 8.2.2.9

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{2^{2}})}$

Passaggio 8.2.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{4})}$

Passaggio 8.2.2.11

Moltiplica $\frac{225}{4}$ per $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{\frac{225}{4}}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Passaggio 8.2.4

Elimina il fattore comune di $225$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{253125}{16}$ nel numeratore.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Passaggio 8.2.4.2

Scomponi $225$ da $- 253125$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 (- 1125)}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Passaggio 8.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 \cdot - 1125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Passaggio 8.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{16} \cdot 4$

Passaggio 8.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 (4)} \cdot 4$

Passaggio 8.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 \cdot 4} \cdot 4$

Passaggio 8.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4}$

Passaggio 8.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{1125}{4}$

Passaggio 8.2.7

La risposta finale è $- \frac{1125}{4}$ .

$- \frac{1125}{4}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = \frac{15}{2}$ la derivata è $- \frac{1125}{4}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 15)$ .

Decrescente su $(0, 15)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(15, 20)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{35}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 {(\frac{35}{2})}^{3} ((\frac{35}{2}) - 20)}{{((\frac{35}{2}) - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{35}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 (\frac{35^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.2

$3$ e $\frac{35^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.3

Per scrivere $- 20$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.4

$- 20$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.6.1

Moltiplica $- 20$ per $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 40}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.6.2

Sottrai $40$ da $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 5}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{5}{2}))}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.8

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.8.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{5}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.8.2

Moltiplica $\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}}$ per $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 35^{3} \cdot 5}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.8.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.8.4

Moltiplica $2^{3}$ per $2$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.8.4.1

Moltiplica $2^{3}$ per $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.8.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.8.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.8.4.2

Somma $3$ e $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.9

Eleva $35$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.1.11

Moltiplica $15$ per $42875$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Per scrivere $- 15$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

$- 15$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.4.1

Moltiplica $- 15$ per $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 30}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.4.2

Sottrai $30$ da $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{4}}$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{643125}{16}$ nel numeratore.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 9.2.4.2

Scomponi $25$ da $- 643125$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 (- 25725)}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 9.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 \cdot - 25725}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Passaggio 9.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{16} \cdot 4$

Passaggio 9.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 (4)} \cdot 4$

Passaggio 9.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 \cdot 4} \cdot 4$

Passaggio 9.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4}$

Passaggio 9.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{25725}{4}$

Passaggio 9.2.7

La risposta finale è $- \frac{25725}{4}$ .

$- \frac{25725}{4}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = \frac{35}{2}$ la derivata è $- \frac{25725}{4}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(15, 20)$ .

Decrescente su $(15, 20)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(20, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $21$ nell'espressione.

$f' (21) = \frac{3 {(21)}^{3} ((21) - 20)}{{((21) - 15)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Sottrai $20$ da $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3} \cdot 1}{{(21 - 15)}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3}}{{(21 - 15)}^{2}}$

Passaggio 10.2.1.3

Eleva $21$ alla potenza di $3$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{{(21 - 15)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Sottrai $15$ da $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{6^{2}}$

Passaggio 10.2.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{36}$

Passaggio 10.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica $3$ per $9261$ .

$f' (21) = \frac{27783}{36}$

Passaggio 10.2.3.2

Elimina il fattore comune di $27783$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.1

Scomponi $9$ da $27783$ .

$f' (21) = \frac{9 (3087)}{36}$

Passaggio 10.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $36$ .

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

Passaggio 10.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

Passaggio 10.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (21) = \frac{3087}{4}$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $\frac{3087}{4}$ .

$\frac{3087}{4}$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 21$ la derivata è $\frac{3087}{4}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(20, \infty)$ .

Crescente su $(20, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0), (20, \infty)$

Decrescente su: $(0, 15), (15, 20)$

Passaggio 12