Calcolo Esempi

$\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ come funzione.

$f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $136$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ rispetto a $t$ è $136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

$136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ come ${(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}$ .

$136 \frac{d}{d t} [{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$136 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.6

Poiché $0.25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ rispetto a $t$ è $0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t - 4.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.7.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 4.5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.10

Poiché $- 4.5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4.5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + 0)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.11

Somma $1$ e $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.13

Moltiplica $2$ per $0.25$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.14

Somma $0$ e $0.5 (t - 4.5)$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.15

Moltiplica $0.5$ per $- 1$ .

$136 (- 0.5 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5)) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.2.16

Moltiplica $- 0.5$ per $136$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + \frac{d}{d t} [28]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $28$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $28$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + 0$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 68 \frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

$- 68$ e $\frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Passaggio 2.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Passaggio 2.1.4.2.3

Somma $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ e $0$ .

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$

Passaggio 2.1.4.3

Riordina i fattori di $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ .

$- (t - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$(- t - - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.1

Riscrivi ${(t - 4.5)}^{2}$ come $(t - 4.5) (t - 4.5)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 ((t - 4.5) (t - 4.5)))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.2

Espandi $(t - 4.5) (t - 4.5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t (t - 4.5) - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.3.1.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.3.1.2

Sposta $- 4.5$ alla sinistra di $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 \cdot t - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.3.1.3

Moltiplica $- 4.5$ per $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 t - 4.5 t + 20.25))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.3.2

Sottrai $4.5 t$ da $- 4.5 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 9 t + 20.25))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} + 0.25 (- 9 t) + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.5.1

Moltiplica $- 9$ per $0.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.5.2

Moltiplica $0.25$ per $20.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 5.0625)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.6

Somma $1$ e $5.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.7

Scomponi $0.0625$ da $0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.6.7.1

Scomponi $0.0625$ da $0.25 t^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.7.2

Scomponi $0.0625$ da $- 2.25 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 6.0625)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.7.3

Scomponi $0.0625$ da $6.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.7.4

Scomponi $0.0625$ da $0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.7.5

Scomponi $0.0625$ da $0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97))}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.8

Applica la regola del prodotto a $0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{0.0625}^{2} {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.6.9

Eleva $0.0625$ alla potenza di $2$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.7

Scomponi $68$ da $68$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.8

Scomponi $0.00390625$ da $0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 ({(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2})}$

Passaggio 2.1.4.9

Frazioni separate.

$(- t + 4.5) (\frac{68}{0.00390625} \cdot \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Passaggio 2.1.4.10

Dividi $68$ per $0.00390625$ .

$(- t + 4.5) (17408 \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Passaggio 2.1.4.11

$17408$ e $\frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$(- t + 4.5) \frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.12

Moltiplica $- t + 4.5$ per $\frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$\frac{(- t + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.13.1

Scomponi $0.5$ da $- t + 4.5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.13.1.1

Scomponi $0.5$ da $- t$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.13.1.2

Scomponi $0.5$ da $4.5$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.13.1.3

Scomponi $0.5$ da $0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)$ .

$\frac{0.5 (- 2 t + 9) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.13.2

Moltiplica $17408$ per $0.5$ .

$\frac{8704 (- 2 t + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.14

Scomponi $- 1$ da $- 2 t$ .

$\frac{8704 (- (2 t) + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.15

Riscrivi $9$ come $- 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t) - 1 (- 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.16

Scomponi $- 1$ da $- (2 t) - 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.17

Riscrivi $- (2 t - 9)$ come $- 1 (2 t - 9)$ .

$\frac{8704 (- 1 (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.1.4.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8704 (2 t - 9) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $8704$ ciascun termine in $8704 (2 t - 9) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Dividi per $8704$ ciascun termine in $8704 (2 t - 9) = 0$ .

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $8704$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Passaggio 3.3.1.2.1.2

Dividi $2 t - 9$ per $1$ .

$2 t - 9 = \frac{0}{8704}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $8704$ .

$2 t - 9 = 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 t = 9$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 t = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 t = 9$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t = \frac{9}{2}$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{9}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{7}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{7}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $8704$ per $2 (\frac{7}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 (- 18) (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 \cdot (- 18 (\frac{7}{2})) + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 18 \cdot 7 + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $- 18$ per $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 126 + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.7

Sottrai $126$ da $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.8

Somma $- 77$ e $97$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{20^{2}}$

Passaggio 6.2.2.9

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{400}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 17408$ e $400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Scomponi $16$ da $- 17408$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 (- 1088)}{400}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Scomponi $16$ da $400$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Passaggio 6.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 1088}{25}$

Passaggio 6.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{1088}{25}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{1088}{25}$ .

$\frac{1088}{25}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $t = \frac{7}{2}$ la derivata è $\frac{1088}{25}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, \frac{9}{2})$ .

Crescente su $(- \infty, \frac{9}{2})$ perché $f' (t) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{9}{2}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $t$ con $\frac{11}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{11}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $8704$ per $2 (\frac{11}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.5.1

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 (- 18) (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 \cdot (- 18 (\frac{11}{2})) + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 18 \cdot 11 + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.6

Moltiplica $- 18$ per $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 198 + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.7

Sottrai $198$ da $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.8

Somma $- 77$ e $97$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{20^{2}}$

Passaggio 7.2.2.9

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{400}$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $17408$ e $400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $16$ da $17408$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 (1088)}{400}$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $16$ da $400$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{1088}{25}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{1088}{25}$ .

$- \frac{1088}{25}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $t = \frac{11}{2}$ la derivata è $- \frac{1088}{25}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{9}{2}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{9}{2}, \infty)$ perché $f' (t) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, \frac{9}{2})$

Decrescente su: $(\frac{9}{2}, \infty)$

Passaggio 9