Calcolo Esempi

$y = \log_{6} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{6} (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{6} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log_{6} (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {u_{2}}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Passaggio 7

$\frac{7}{2}$ e ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \cdot 1))$

Passaggio 12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2))$

Passaggio 12.2

Riordina i fattori di $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} ((2 x + 2) \frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Moltiplica $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)}$ .

$\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6))} (2 x + 2)$

Passaggio 13.1.2

Sposta ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6) {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}} (2 x + 2)$

Passaggio 13.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Moltiplica ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ per ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1.1

Sposta ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{7}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}) \ln (6)} (2 x + 2)$

Passaggio 13.1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Passaggio 13.1.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 5 + 7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Passaggio 13.1.3.1.4

Somma $- 5$ e $7$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Passaggio 13.1.3.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)} (2 x + 2)$

Passaggio 13.1.3.2

Semplifica $2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)$ .

$\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$

Passaggio 13.2

Riordina i fattori di $\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)}$

Passaggio 13.3

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + 2 x) \ln (6)}$

Passaggio 13.3.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + x \cdot 2) \ln (6)}$

Passaggio 13.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x (x + 2)) \ln (6)}$

$(2 x + 2) \frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Passaggio 13.4

Moltiplica $2 x + 2$ per $\frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot 7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Passaggio 13.5

Elimina il fattore comune di $2 x + 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Scomponi $2$ da $(2 x + 2) \cdot 7$ .

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Passaggio 13.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (x + 2) \ln (6)$ .

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Passaggio 13.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Passaggio 13.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 1) \cdot 7}{(x (x + 2)) \ln (6)}$

Passaggio 13.6

Sposta $7$ alla sinistra di $x + 1$ .

$\frac{7 \cdot (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$

Passaggio 13.7

Riordina i fattori in $\frac{7 (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$ .

$\frac{7 (x + 1)}{x \ln (6) (x + 2)}$