Calcolo Esempi

$y = (\sqrt{2 x + 5}) \tan (x^{2} + 5 x)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x + 5}$ come ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \tan (x^{2} + 5 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \tan (x^{2} + 5 x)$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{2} + 5 x)] + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x^{2} + 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + 5 x$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + 5 x$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + 5 \cdot 1) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + 5) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 5

Eleva $2 x + 5$ alla potenza di $1$ .

${(2 x + 5)}^{1} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(2 x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${(2 x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(2 x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 7.3

Somma $2$ e $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x + 5$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 8.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 5$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 10

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 12.2

Sottrai $2$ da $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 13

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 13.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 13.3

Sposta ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Passaggio 13.4

$\frac{1}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\tan (x^{2} + 5 x)$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Passaggio 14

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 15

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 17

Moltiplica $2$ per $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 18

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Passaggio 19

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Somma $2$ e $0$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Passaggio 19.2

$\frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x) \cdot 2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan (x^{2} + 5 x)$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{2 \cdot \tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.4

Elimina il fattore comune.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{2 \tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19.5

Riscrivi l'espressione.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Per scrivere ${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Moltiplica ${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}$ per ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Sposta ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1 + 3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{4}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.5

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{2} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Riscrivi ${(2 x + 5)}^{2}$ come $(2 x + 5) (2 x + 5)$ .

$\frac{(2 x + 5) (2 x + 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.2

Espandi $(2 x + 5) (2 x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5)) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x + 5)) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3.1.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3.1.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3.1.6

Moltiplica $5$ per $5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x + 10 x + 25) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.3.2

Somma $10 x$ e $10 x$ .

$\frac{(4 x^{2} + 20 x + 25) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + 20 x \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + 25 \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$