Calcolo Esempi

$\tan^{-1} (x^{2} y)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan^{-1} (x)$ e $g (x) = x^{2} y$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\tan^{-1} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y (2 x))$

Passaggio 2.3

Riordina.

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Passaggio 2.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 \cdot y x)$

Passaggio 2.3.2

Riordina i fattori di $2 y x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 x y)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la regola del prodotto a $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (2 x y)$

Passaggio 3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (2 x y)$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (2 x y)$

Passaggio 3.2.2

$2$ e $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}} (x y)$

Passaggio 3.2.3

$x$ e $\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}} y$

Passaggio 3.2.4

$\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{x \cdot 2 y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$\frac{2 x y}{x^{4} y^{2} + 1}$