Calcolo Esempi

${(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{5}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 7}{7 x + 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 7}{7 x + 3}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 7}{7 x + 3}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x - 7$ e $g (x) = 7 x + 3$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 7] - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 + 0) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) \cdot 2 - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $7 x + 3$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 \cdot (7 x + 3) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $7$ per $1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 + 0)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.12.1

Somma $7$ e $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) \cdot 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.12.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - 7 (2 x - 7)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x) + 2 \cdot 3 - 7 (2 x - 7)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x) + 2 \cdot 3 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $7$ per $2$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 2 \cdot 3 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 6 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 6 - 14 x - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 6 - 14 x + 49}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Combina i termini opposti in $14 x + 6 - 14 x + 49$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Sottrai $14 x$ da $14 x$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{0 + 6 + 49}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $0$ e $6$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{6 + 49}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Somma $6$ e $49$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

$5 \frac{{(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}} \frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$5$ e $\frac{{(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}}$ .

$\frac{5 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}} \cdot \frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\frac{5 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}}$ per $\frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5 {(2 x - 7)}^{4} \cdot 55}{{(7 x + 3)}^{4} {(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $55$ per $5$ .

$\frac{275 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4} {(7 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica ${(7 x + 3)}^{4}$ per ${(7 x + 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.4.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{275 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4 + 2}}$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{275 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{6}}$