Calcolo Esempi

${(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = z^{3}$ e $g (z) = x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} \frac{d}{d z} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (\frac{d}{d z} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Passaggio 2.2

Poiché $x^{2} y^{3}$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $x^{2} y^{3}$ rispetto a $z$ è $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + \frac{d}{d z} [3 x z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d z} [3 x z]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $3 x$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $3 x z$ rispetto a $z$ è $3 x \frac{d}{d z} [z]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + \frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d z} [y^{2} z^{3}]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $y^{2} z^{3}$ rispetto a $z$ è $y^{2} \frac{d}{d z} [z^{3}]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + y^{2} \frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [11])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + y^{2} (3 z^{2}) + \frac{d}{d z} [11])$

Passaggio 4.3

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + 3 y^{2} z^{2} + \frac{d}{d z} [11])$

Passaggio 5

Poiché $11$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $11$ rispetto a $z$ è $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (0 + 3 x + 3 y^{2} z^{2} + 0)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.1.1

Somma $0$ e $3 x$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x + 3 y^{2} z^{2} + 0)$

Passaggio 6.1.2

Somma $3 x + 3 y^{2} z^{2}$ e $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x + 3 y^{2} z^{2})$

Passaggio 6.2

Riordina i termini.

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 y^{2} z^{2} + 3 x)$