Calcolo Esempi

${(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2} y^{3}$ rispetto a $y$ è $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Passaggio 3.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Passaggio 4

Poiché $3 x z$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x z$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}]$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $z^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} z^{3}$ rispetto a $y$ è $z^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + z^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [11])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + z^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [11])$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $z^{3}$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + 2 z^{3} y + \frac{d}{d y} [11])$

Passaggio 6

Poiché $11$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $11$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + 2 z^{3} y + 0)$

Passaggio 7

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.1

Somma $3 x^{2} y^{2}$ e $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y + 0)$

Passaggio 7.2

Somma $3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y$ e $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y)$