Calcolo Esempi

$y = \tan^{-1} (\sqrt{4 t})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \tan^{-1} (t)$ e $g (t) = \sqrt{4 t}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\tan^{-1} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Passaggio 2

Riscrivi $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$ come $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2^{2} t}]$

Passaggio 2.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$

Passaggio 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 11

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 12

$2$ e $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 13

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 16.1.1

Riscrivi $\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ come $\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

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Passaggio 16.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{2^{2} t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{t}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (\sqrt{t}))}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.3

Applica la regola del prodotto a $2 (\sqrt{t})$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.5

Riscrivi ${\sqrt{t}}^{2}$ come $t$ .

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Passaggio 16.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 16.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.5.5

Semplifica.

$\frac{1}{1 + 4 t} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.1.6

Moltiplica $\frac{1}{1 + 4 t}$ per $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$