Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\frac{a x - 2}{x^{3} - a})$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questa derivata usando la regola della catena. Mathway userà un altro metodo.

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ è $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ dove $f (a) = a x - 2$ e $g (a) = x^{3} - a$ .

$\frac{(x^{3} - a) \frac{d}{d a} [a x - 2] - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x - 2$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $a x$ rispetto a $a$ è $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $a$ è $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + 0) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - a$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Poiché $x^{3}$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $x^{3}$ rispetto a $a$ è $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (0 + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [- a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $- a$ rispetto a $a$ è $- \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (- \frac{d}{d a} [a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Moltiplica.

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Passaggio 3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + 1 (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $a x - 2$ per $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \cdot 1}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Moltiplica $a x - 2$ per $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} x - a x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Combina i termini opposti in $x^{3} x - a x + a x - 2$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Somma $- a x$ e $a x$ .

$\frac{x^{3} x + 0 - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $x^{3} x$ e $0$ .

$\frac{x^{3} x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3 + 1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{x^{4} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$