Calcolo Esempi

$y = e^{2 x}$ , $y = e^{5 x}$ , $x = 1$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$e^{2 x} = e^{5 x}$

Passaggio 1.2

Risolvi $e^{2 x} = e^{5 x}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$2 x = 5 x$

Passaggio 1.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Sottrai $5 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - 5 x = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Sottrai $5 x$ da $2 x$ .

$- 3 x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = 0$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 1.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 1.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 3$ .

$x = 0$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = e^{5 (0)}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $e^{5 (0)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$y = e^{0}$

Passaggio 1.3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 1)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{1} e^{5 x} d x - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - (e^{2 x}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - e^{2 x} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} d x + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Passaggio 3.4

Sia $u_{1} = 5 x$ . Allora $d u_{1} = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sia $u_{1} = 5 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 3.4.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 3.4.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 3.4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 3.4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{5} e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Passaggio 3.5

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Passaggio 3.6

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Passaggio 3.7

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Passaggio 3.9

Sia $u_{2} = 2 x$ . Allora $d u_{2} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sia $u_{2} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 3.9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 3.9.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 3.9.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.9.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Passaggio 3.9.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 3.9.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 3.9.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 3.10

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 3.11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 3.12

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Passaggio 3.13

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.13.1

Calcola $e^{u_{1}}$ per $5$ e per $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Passaggio 3.13.2

Calcola $e^{u_{2}}$ per $2$ e per $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Passaggio 3.13.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.3.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1 \cdot 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Passaggio 3.13.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Passaggio 3.13.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.13.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Passaggio 3.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{5} e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Passaggio 3.14.1.2

$\frac{1}{5}$ e $e^{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Passaggio 3.14.1.3

$\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Passaggio 3.14.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Passaggio 3.14.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 3.14.1.6

$e^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 3.14.1.7

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.14.1.7.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.14.2

Per scrivere $- \frac{1}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.14.3

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.14.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $10$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.4.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.14.4.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.14.4.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Passaggio 3.14.4.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

Passaggio 3.14.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{- 2 + 5}{10}$

Passaggio 3.14.6

Somma $- 2$ e $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{3}{10}$

Passaggio 4