Calcolo Esempi

$y = \frac{4}{9} x^{2}$ , $y = \frac{13}{9} - x^{2}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi $\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica $\frac{4}{9} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + \frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Passaggio 1.2.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Passaggio 1.2.1.3

$\frac{4}{9}$ e $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Passaggio 1.2.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} = \frac{13}{9}$

Passaggio 1.2.2.2

Per scrivere $x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} \cdot \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

Passaggio 1.2.2.3

$x^{2}$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Passaggio 1.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Passaggio 1.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Sposta $9$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 9 \cdot x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Passaggio 1.2.2.5.2

Somma $4 x^{2}$ e $9 x^{2}$ .

$\frac{13 x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Passaggio 1.2.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$13 x^{2} = 13$

Passaggio 1.2.4

Dividi per $13$ ciascun termine in $13 x^{2} = 13$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Dividi per $13$ ciascun termine in $13 x^{2} = 13$ .

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{13}{13}$

Passaggio 1.2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Dividi $13$ per $13$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.6

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.7.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $1$ per $x$ in $y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{13}{9} - 1^{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $\frac{13}{9} - 1^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{13}{9} - 1$

Passaggio 1.3.2.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 1.3.2.2.3

$- 1$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 1.3.2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{13 - 1 \cdot 9}{9}$

Passaggio 1.3.2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$y = \frac{13 - 9}{9}$

Passaggio 1.3.2.2.5.2

Sottrai $9$ da $13$ .

$y = \frac{4}{9}$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

Passaggio 2

$\frac{4}{9}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{9}$

Passaggio 3

Riordina $\frac{13}{9}$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{13}{9}$

Passaggio 4

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} d x - \int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{2}}{9} d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} - (\frac{4 x^{2}}{9}) d x$

Passaggio 5.2

Per scrivere $- x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9} d x$

Passaggio 5.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

$- x^{2}$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Passaggio 5.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Passaggio 5.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} + 13}{9}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 4 x^{2} + 13}{9}$

Passaggio 5.3.5

Sottrai $4 x^{2}$ da $- 9 x^{2}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 13}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{- 13 x^{2} + 13}{9} d x$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $13$ da $- 13 x^{2} + 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $13$ da $- 13 x^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13}{9}$

Passaggio 5.4.1.2

Scomponi $13$ da $13$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13 (1)}{9}$

Passaggio 5.4.1.3

Scomponi $13$ da $13 (- x^{2}) + 13 (1)$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1)}{9}$

Passaggio 5.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1^{2})}{9}$

Passaggio 5.4.3

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{13 (1^{2} - x^{2})}{9}$

Passaggio 5.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9} d x$

Passaggio 5.5

Poiché $\frac{13}{9}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{13}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} (1 + x) (1 - x) d x$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 (1 - x) + x (1 - x) d x$

Passaggio 5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) d x$

Passaggio 5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) d x$

Passaggio 5.6.4

Riordina $x$ e $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x) d x$

Passaggio 5.6.5

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x d x$

Passaggio 5.6.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Passaggio 5.6.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Passaggio 5.6.8

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - 1 x \cdot x d x$

Passaggio 5.6.9

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x \cdot x) d x$

Passaggio 5.6.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x) d x$

Passaggio 5.6.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x^{1}) d x$

Passaggio 5.6.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{1 + 1} d x$

Passaggio 5.6.13

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{2} d x$

Passaggio 5.6.14

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 0 - x^{2} d x$

Passaggio 5.6.15

Sottrai $x^{2}$ da $0$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$

Passaggio 5.6.16

Riordina $1$ e $- x^{2}$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Passaggio 5.7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{13}{9} (\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 5.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{13}{9} (- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 5.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 5.10

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Passaggio 5.11

Applica la regola costante.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Passaggio 5.12

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Passaggio 5.12.2

Calcola $x$ per $1$ e per $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 5.12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 5.12.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 5.12.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 5.12.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Passaggio 5.12.3.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Passaggio 5.12.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{13}{9} (- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1)$

Passaggio 5.12.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 1 + 1)$

Passaggio 5.12.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2)$

Passaggio 5.12.3.9

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 5.12.3.10

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

Passaggio 5.12.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.12.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.3.12.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 6}{3}$

Passaggio 5.12.3.12.2

Somma $- 2$ e $6$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{4}{3}$

Passaggio 5.12.3.13

Moltiplica $\frac{13}{9}$ per $\frac{4}{3}$ .

$\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Passaggio 5.12.3.14

Moltiplica $13$ per $4$ .

$\frac{52}{9 \cdot 3}$

Passaggio 5.12.3.15

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{52}{27}$

Passaggio 6