Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Risolvi $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Passaggio 1.2.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

$1$ Elenca i fattori primi di ciascun numero.

Passaggio 1.2.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.2.1.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.1.6

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x = x$

Passaggio 1.2.1.7

I fattori di $x^{2}$ sono $x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$x^{2} = x \cdot x$

Passaggio 1.2.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{1}, x^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.1.9

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica per $x^{2}$ ciascun termine in $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ per $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Passaggio 1.2.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $1$ per $x$ in $y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{1}{1^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica $\frac{1}{1^{2}}$ .

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Passaggio 1.3.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{1}{1}$

Passaggio 1.3.2.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$y = 1$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, 1)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $1$ e $2$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.6.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Passaggio 3.7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Passaggio 3.8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.8.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.8.1.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $2$ e per $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Passaggio 3.8.1.2

Calcola $- x^{- 1}$ per $2$ e per $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.8.1.3

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.8.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Passaggio 3.8.1.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Passaggio 3.8.1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Passaggio 3.8.1.3.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.8.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica.

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Passaggio 3.8.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.8.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.8.3.3

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

Passaggio 4