Calcolo Esempi

$x = 4$ , $x = - 4$ , $y = - \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = \sqrt{16 - x^{2}}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$- \sqrt{16 - x^{2}} = \sqrt{16 - x^{2}}$

Passaggio 1.2

Risolvi $- \sqrt{16 - x^{2}} = \sqrt{16 - x^{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Risolvi per $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta tutti i termini contenenti $\sqrt{16 - x^{2}}$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Sottrai $\sqrt{16 - x^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sqrt{16 - x^{2}} - \sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.1.1.2

Sottrai $\sqrt{16 - x^{2}}$ da $- \sqrt{16 - x^{2}}$ .

$- 2 \sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sqrt{16 - x^{2}} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sqrt{16 - x^{2}} = 0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{16 - x^{2}}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 1.2.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sqrt{16 - x^{2}}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 1.2.1.2.2.1.2

Dividi $\sqrt{16 - x^{2}}$ per $1$ .

$\sqrt{16 - x^{2}} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 1.2.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.2.3.1

Dividi $0$ per $- 2$ .

$\sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{16 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{16 - x^{2}}$ come ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(16 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Semplifica.

$16 - x^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$16 - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 16$

Passaggio 1.2.4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 16$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Passaggio 1.2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Passaggio 1.2.4.4

Semplifica $\pm \sqrt{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 1.2.4.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 4$

Passaggio 1.2.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4$

Passaggio 1.2.4.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 4$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $4$ .

$y = \sqrt{16 - {(4)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $\sqrt{16 - {(4)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \sqrt{16 - 1 \cdot 16}$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$y = \sqrt{16 - 16}$

Passaggio 1.3.2.3

Sottrai $16$ da $16$ .

$y = \sqrt{0}$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.3.2.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

Passaggio 2

Semplifica $- \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = - \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4$ e $b = x$ .

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Passaggio 3

Semplifica $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 4$ e $b = x$ .

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Passaggio 4

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x - \int_{- 4}^{4} - \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 1 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ per $1$ .

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Passaggio 5.3

Somma $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ e $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$\int_{- 4}^{4} 2 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Passaggio 5.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Passaggio 5.5

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Espandi $(4 + x) (4 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (4 - x) + x (4 - x)$

Passaggio 5.5.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

Passaggio 5.5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Passaggio 5.5.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Passaggio 5.5.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

Passaggio 5.5.1.2.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

Passaggio 5.5.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

Passaggio 5.5.1.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

Passaggio 5.5.1.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

Passaggio 5.5.1.2.2

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$16 + 0 - x^{2}$

Passaggio 5.5.1.2.3

Somma $16$ e $0$ .

$16 - x^{2}$

Passaggio 5.5.1.3

Riordina $16$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 16$

Passaggio 5.5.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 16$

Passaggio 5.5.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.5.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 5.5.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 5.5.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 5.5.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 5.5.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 16 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 5.5.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 4}$

Passaggio 5.5.5.2.1.3

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = 16 - 0$

Passaggio 5.5.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 16 + 0$

Passaggio 5.5.5.2.2

Somma $16$ e $0$ .

$e = 16$

Passaggio 5.5.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 0)}^{2} + 16$ .

$2 \int_{- 4}^{4} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 16} d x$

Passaggio 5.6

Sia $u_{1} = x + 0$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Sia $u_{1} = x + 0$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Differenzia $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Passaggio 5.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 0$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Passaggio 5.6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Passaggio 5.6.1.4

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.6.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 4 + 0$

Passaggio 5.6.3

Somma $- 4$ e $0$ .

$u_{lower} = - 4$

Passaggio 5.6.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 4 + 0$

Passaggio 5.6.5

Somma $4$ e $0$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{- 4}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 16} d u_{1}$

Passaggio 5.7

Sia $u_{1} = 4 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = 4 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ è positivo.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(4 \sin (t))}^{2} + 16} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Semplifica $\sqrt{- {(4 \sin (t))}^{2} + 16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sin (t)$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (4^{2} \sin^{2} (t)) + 16} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.1.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (16 \sin^{2} (t)) + 16} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.1.1.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 16 \sin^{2} (t) + 16} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.1.2

Riordina $- 16 \sin^{2} (t)$ e $16$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.1.3

Scomponi $16$ da $16$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.1.4

Scomponi $16$ da $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.1.5

Scomponi $16$ da $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.1.7

Riscrivi $16 \cos^{2} (t)$ come ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 5.8.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 5.8.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 5.8.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 5.8.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5.9

Poiché $16$ è costante rispetto a $t$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$2 (16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Passaggio 5.10

Moltiplica $16$ per $2$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5.11

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5.12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$32 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 5.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.1

$\frac{1}{2}$ e $32$ .

$\frac{32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 5.13.2

Elimina il fattore comune di $32$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.2.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$\frac{2 \cdot 16}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 5.13.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 5.13.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 5.13.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 5.13.2.2.4

Dividi $16$ per $1$ .

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 5.14

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$16 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 5.15

Applica la regola costante.

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 5.16

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.16.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Passaggio 5.16.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 5.16.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5.16.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.16.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.16.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 5.16.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.16.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 5.16.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 5.16.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 5.16.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 5.16.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.16.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 5.16.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 5.16.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Passaggio 5.16.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 5.17

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 5.18

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 5.19

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Passaggio 5.20

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Passaggio 5.21

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.21.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$16 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Passaggio 5.21.2

Calcola $\sin (u_{2})$ per $π$ e per $- π$ .

$16 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 5.21.3

Semplifica.

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Passaggio 5.21.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$16 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 5.21.3.2

Somma $π$ e $π$ .

$16 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 5.21.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.21.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$16 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 5.21.3.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$16 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$16 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 5.22

Semplifica.

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Passaggio 5.22.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.22.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$16 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 5.22.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$16 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 5.22.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$16 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Passaggio 5.22.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$16 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Passaggio 5.22.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$16 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Passaggio 5.22.1.6

Somma $0$ e $0$ .

$16 (π + \frac{0}{2})$

Passaggio 5.22.2

Dividi $0$ per $2$ .

$16 (π + 0)$

Passaggio 5.23

Somma $π$ e $0$ .

$16 π$

Passaggio 6