Calcolo Esempi

$r = 1 - \sin (θ)$ , $r = 2 + \sin (θ)$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$

Passaggio 1.2

Risolvi $1 - \sin (θ) = 2 + \sin (θ)$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $\sin (θ)$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $\sin (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1 - \sin (θ) - \sin (θ) = 2$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $\sin (θ)$ da $- \sin (θ)$ .

$1 - 2 \sin (θ) = 2$

Passaggio 1.2.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\sin (θ)$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (θ) = 2 - 1$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$- 2 \sin (θ) = 1$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (θ) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (θ) = 1$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.5.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Passaggio 1.2.6

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 1.2.7

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 1.2.7.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 1.2.7.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 1.2.8

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

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Passaggio 1.2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.8.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.9

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 1.2.9.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π + r = 2 + \sin (θ)$

Passaggio 1.2.9.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Passaggio 1.2.9.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.2.9.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Passaggio 1.2.9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Passaggio 1.2.9.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.9.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Passaggio 1.2.9.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6} + r = 2 + \sin (θ)$

Passaggio 1.2.9.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 1.2.10

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Risolvi $r$ quando $θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $θ$ per $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ .

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ per $θ$ in $r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$r = 2 + \sin (\frac{7 π}{6} + 2 π n)$

Passaggio 1.3.2.2

Riordina $\frac{7 π}{6}$ e $2 π n$ .

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6})$

Passaggio 1.4

Risolvi $r$ quando $θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$ .

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Passaggio 1.4.1

Sostituisci $θ$ per $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ .

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ per $θ$ in $r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$r = 2 + \sin (\frac{11 π}{6} + 2 π n)$

Passaggio 1.4.2.2

Riordina $\frac{11 π}{6}$ e $2 π n$ .

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6})$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema di equazioni è composta da tutti i valori che rendono il sistema vero.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

Passaggio 1.6

Elenca tutte le soluzioni.

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{7 π}{6}), θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n$

$r = 2 + \sin (2 π n + \frac{11 π}{6}), θ = \frac{11 π}{6} + 2 π n$

Passaggio 2

L'area tra le curve date è illimitata.

Area illimitata

Passaggio 3