Calcolo Esempi

$r = 13 \cos (θ)$ , $r = 6 + \cos (θ)$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$

Passaggio 1.2

Risolvi $13 \cos (θ) = 6 + \cos (θ)$ per $θ$ .

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Passaggio 1.2.1

Sposta tutti i termini contenenti $\cos (θ)$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1.1

Sottrai $\cos (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$13 \cos (θ) - \cos (θ) = 6$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $\cos (θ)$ da $13 \cos (θ)$ .

$12 \cos (θ) = 6$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 \cos (θ) = 6$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 \cos (θ) = 6$ .

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \cos (θ)}{12} = \frac{6}{12}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{12}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\cos (θ) = \frac{6 (1)}{12}$

Passaggio 1.2.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (θ) = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 1.2.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.6.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 1.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 1.2.7

Trova il periodo di $\cos (θ)$ .

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Passaggio 1.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 1.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 1.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 1.2.8

Il periodo della funzione $\cos (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

Risolvi $r$ quando $θ = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $θ$ per $\frac{π}{3} + 2 π n$ .

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $\frac{π}{3} + 2 π n$ per $θ$ in $r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$r = 6 + \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.3.2.2

Riordina $\frac{π}{3}$ e $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3})$

Passaggio 1.4

Risolvi $r$ quando $θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

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Passaggio 1.4.1

Sostituisci $θ$ per $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ per $θ$ in $r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$r = 6 + \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Passaggio 1.4.2.2

Riordina $\frac{5 π}{3}$ e $2 π n$ .

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3})$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema di equazioni è composta da tutti i valori che rendono il sistema vero.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Passaggio 1.6

Elenca tutte le soluzioni.

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{π}{3}), θ = \frac{π}{3} + 2 π n$

$r = 6 + \cos (2 π n + \frac{5 π}{3}), θ = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Passaggio 2

L'area tra le curve date è illimitata.

Area illimitata

Passaggio 3