Calcolo Esempi

$3 x + y^{2} = 10$ , $x = 3 y$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $3 y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $3 x + y^{2} = 10$ con $3 y$ .

$3 (3 y) + y^{2} = 10$

$x = 3 y$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 y + y^{2} = 10$

$x = 3 y$

$9 y + y^{2} = 10$

$x = 3 y$

$9 y + y^{2} = 10$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ in $9 y + y^{2} = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y + y^{2} - 10 = 0$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sia $u = y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $u$ .

$9 u + u^{2} - 10 = 0$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $9 u + u^{2} - 10$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $9$ .

$- 1, 10$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 1) (u + 10) = 0$

$x = 3 y$

$(u - 1) (u + 10) = 0$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$(y - 1) (y + 10) = 0$

$x = 3 y$

$(y - 1) (y + 10) = 0$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 1 = 0$

$y + 10 = 0$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.4

Imposta $y - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $y - 1$ uguale a $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 1$

$x = 3 y$

$y = 1$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.5

Imposta $y + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $y + 10$ uguale a $0$ .

$y + 10 = 0$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 10$

$x = 3 y$

$y = - 10$

$x = 3 y$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 1) (y + 10) = 0$ vera.

$y = 1, - 10$

$x = 3 y$

$y = 1, - 10$

$x = 3 y$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 3 y$ con $1$ .

$x = 3 (1)$

$y = 1$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $- 10$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 3 y$ con $- 10$ .

$x = 3 (- 10)$

$y = - 10$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $3$ per $- 10$ .

$x = - 30$

$y = - 10$

$x = - 30$

$y = - 10$

$x = - 30$

$y = - 10$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(3, 1)$

$(- 30, - 10)$

$(3, 1)$

$(- 30, - 10)$

Passaggio 2

Risolvi $3 x + y^{2} = 10$ in termini di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 10 - y^{2}$

Passaggio 2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 10 - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 10 - y^{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3} + \frac{- y^{2}}{3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3} + \frac{- y^{2}}{3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{- y^{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = \frac{10}{3} - \frac{y^{2}}{3}$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 10}^{1} \frac{10}{3} - \frac{y^{2}}{3} d y - \int_{- 10}^{1} 3 y d y$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 10$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 10}^{1} \frac{10}{3} - \frac{y^{2}}{3} - (3 y) d y$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int_{- 10}^{1} \frac{10}{3} - \frac{y^{2}}{3} - 3 y d y$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 10}^{1} \frac{10}{3} d y + \int_{- 10}^{1} - \frac{y^{2}}{3} d y + \int_{- 10}^{1} - 3 y d y$

Passaggio 4.4

Applica la regola costante.

$\frac{10}{3} y]_{- 10}^{1} + \int_{- 10}^{1} - \frac{y^{2}}{3} d y + \int_{- 10}^{1} - 3 y d y$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{10}{3} y]_{- 10}^{1} - \int_{- 10}^{1} \frac{y^{2}}{3} d y + \int_{- 10}^{1} - 3 y d y$

Passaggio 4.6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{10}{3} y]_{- 10}^{1} - (\frac{1}{3} \int_{- 10}^{1} y^{2} d y) + \int_{- 10}^{1} - 3 y d y$

Passaggio 4.7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{10}{3} y]_{- 10}^{1} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 10}^{1} + \int_{- 10}^{1} - 3 y d y$

Passaggio 4.8

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$\frac{10}{3} y]_{- 10}^{1} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 10}^{1} - 3 \int_{- 10}^{1} y d y$

Passaggio 4.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{10}{3} y]_{- 10}^{1} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 10}^{1} - 3 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 10}^{1})$

Passaggio 4.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{10}{3} y]_{- 10}^{1} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 10}^{1} - 3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 10}^{1})$

Passaggio 4.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Calcola $\frac{10}{3} y$ per $1$ e per $- 10$ .

$(\frac{10}{3} \cdot 1) - \frac{10}{3} \cdot - 10 - \frac{1}{3} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 10}^{1} - 3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 10}^{1})$

Passaggio 4.10.2.2

Calcola $\frac{1}{3} y^{3}$ per $1$ e per $- 10$ .

$\frac{10}{3} \cdot 1 - \frac{10}{3} \cdot - 10 - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 10}^{1})$

Passaggio 4.10.2.3

Calcola $\frac{y^{2}}{2}$ per $1$ e per $- 10$ .

$\frac{10}{3} \cdot 1 - \frac{10}{3} \cdot - 10 - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.1

Moltiplica $\frac{10}{3}$ per $1$ .

$\frac{10}{3} - \frac{10}{3} \cdot - 10 - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.2

Moltiplica $- 10$ per $- 1$ .

$\frac{10}{3} + 10 (\frac{10}{3}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.3

$10$ e $\frac{10}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{10 \cdot 10}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.4

Moltiplica $10$ per $10$ .

$\frac{10}{3} + \frac{100}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{10 + 100}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.6

Somma $10$ e $100$ .

$\frac{110}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{110}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.8

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{110}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 10)}^{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.9

Eleva $- 10$ alla potenza di $3$ .

$\frac{110}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1000) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.10

Moltiplica $- 1000$ per $- 1$ .

$\frac{110}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} + 1000 (\frac{1}{3})) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.11

$1000$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{110}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{1000}{3}) - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{110}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 1000}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.13

Somma $1$ e $1000$ .

$\frac{110}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1001}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14

Moltiplica $\frac{1001}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{110}{3} - \frac{1001}{3 \cdot 3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.15

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{110}{3} - \frac{1001}{9} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.16

Per scrivere $\frac{110}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1001}{9} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.17

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.17.1

Moltiplica $\frac{110}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{110 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1001}{9} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.17.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{110 \cdot 3}{9} - \frac{1001}{9} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{110 \cdot 3 - 1001}{9} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.19.1

Moltiplica $110$ per $3$ .

$\frac{330 - 1001}{9} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.19.2

Sottrai $1001$ da $330$ .

$\frac{- 671}{9} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{671}{9} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.21

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 10)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.22

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{100}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.23

Elimina il fattore comune di $100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.23.1

Scomponi $2$ da $100$ .

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 50}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.23.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.23.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 50}{2 (1)})$

Passaggio 4.10.2.4.23.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.10.2.4.23.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{50}{1})$

Passaggio 4.10.2.4.23.2.4

Dividi $50$ per $1$ .

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 50)$

Passaggio 4.10.2.4.24

Moltiplica $- 1$ per $50$ .

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} - 50)$

Passaggio 4.10.2.4.25

Per scrivere $- 50$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} - 50 \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.26

$- 50$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{1}{2} + \frac{- 50 \cdot 2}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.27

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{671}{9} - 3 \frac{1 - 50 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.28

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.28.1

Moltiplica $- 50$ per $2$ .

$- \frac{671}{9} - 3 \frac{1 - 100}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.28.2

Sottrai $100$ da $1$ .

$- \frac{671}{9} - 3 (\frac{- 99}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.29

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{671}{9} - 3 (- \frac{99}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.30

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- \frac{671}{9} + 3 (\frac{99}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.31

$3$ e $\frac{99}{2}$ .

$- \frac{671}{9} + \frac{3 \cdot 99}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.32

Moltiplica $3$ per $99$ .

$- \frac{671}{9} + \frac{297}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.33

Per scrivere $- \frac{671}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{671}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{297}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.34

Per scrivere $\frac{297}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{671}{9} \cdot \frac{2}{2} + \frac{297}{2} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 4.10.2.4.35

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $18$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.35.1

Moltiplica $\frac{671}{9}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{671 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{297}{2} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 4.10.2.4.35.2

Moltiplica $9$ per $2$ .

$- \frac{671 \cdot 2}{18} + \frac{297}{2} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 4.10.2.4.35.3

Moltiplica $\frac{297}{2}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{671 \cdot 2}{18} + \frac{297 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

Passaggio 4.10.2.4.35.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$- \frac{671 \cdot 2}{18} + \frac{297 \cdot 9}{18}$

Passaggio 4.10.2.4.36

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 671 \cdot 2 + 297 \cdot 9}{18}$

Passaggio 4.10.2.4.37

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.37.1

Moltiplica $- 671$ per $2$ .

$\frac{- 1342 + 297 \cdot 9}{18}$

Passaggio 4.10.2.4.37.2

Moltiplica $297$ per $9$ .

$\frac{- 1342 + 2673}{18}$

Passaggio 4.10.2.4.37.3

Somma $- 1342$ e $2673$ .

$\frac{1331}{18}$

Passaggio 5