Calcolo Esempi

$y^{2} - 4 x = 4$ , $x - y = 2$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2 + y$

$y^{2} - 4 x = 4$

Passaggio 1.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $2 + y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $y^{2} - 4 x = 4$ con $2 + y$ .

$y^{2} - 4 (2 + y) = 4$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} - 4 \cdot 2 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.2.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y^{2} - 8 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

$y^{2} - 8 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

$y^{2} - 8 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

$y^{2} - 8 - 4 y = 4$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3

Risolvi per $y$ in $y^{2} - 8 - 4 y = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 8 - 4 y - 4 = 0$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $4$ da $- 8$ .

$y^{2} - 4 y - 12 = 0$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $y^{2} - 4 y - 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 6, 2$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(y - 6) (y + 2) = 0$

$x = 2 + y$

$(y - 6) (y + 2) = 0$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 2 = 0$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3.5

Imposta $y - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Imposta $y - 6$ uguale a $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 6$

$x = 2 + y$

$y = 6$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3.6

Imposta $y + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Imposta $y + 2$ uguale a $0$ .

$y + 2 = 0$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2$

$x = 2 + y$

$y = - 2$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 6) (y + 2) = 0$ vera.

$y = 6, - 2$

$x = 2 + y$

$y = 6, - 2$

$x = 2 + y$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $6$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 2 + y$ con $6$ .

$x = 2 + 6$

$y = 6$

Passaggio 1.4.2

Semplifica $x = 2 + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 + 6$

$y = 6$

$x = 2 + 6$

$y = 6$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Somma $2$ e $6$ .

$x = 8$

$y = 6$

$x = 8$

$y = 6$

$x = 8$

$y = 6$

$x = 8$

$y = 6$

Passaggio 1.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $- 2$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 2 + y$ con $- 2$ .

$x = 2 - 2$

$y = - 2$

Passaggio 1.5.2

Semplifica $x = 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 - 2$

$y = - 2$

$x = 2 - 2$

$y = - 2$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$x = 0$

$y = - 2$

$x = 0$

$y = - 2$

$x = 0$

$y = - 2$

$x = 0$

$y = - 2$

Passaggio 1.6

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(8, 6)$

$(0, - 2)$

$(8, 6)$

$(0, - 2)$

Passaggio 2

Risolvi $y^{2} - 4 x = 4$ in termini di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x = 4 - y^{2}$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = 4 - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = 4 - y^{2}$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{4}{- 4} + \frac{- y^{2}}{- 4}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{4}{- 4} + \frac{- y^{2}}{- 4}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{- 4} + \frac{- y^{2}}{- 4}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Dividi $4$ per $- 4$ .

$x = - 1 + \frac{- y^{2}}{- 4}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = - 1 + \frac{y^{2}}{4}$

Passaggio 3

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2 + y$

Passaggio 4

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 2}^{6} 2 + y d y - \int_{- 2}^{6} - 1 + \frac{y^{2}}{4} d y$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $- 2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 2}^{6} 2 + y - (- 1 + \frac{y^{2}}{4}) d y$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 + y - - 1 - \frac{y^{2}}{4}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 + y + 1 - \frac{y^{2}}{4}$

$\int_{- 2}^{6} 2 + y + 1 - \frac{y^{2}}{4} d y$

Passaggio 5.3

Somma $2$ e $1$ .

$\int_{- 2}^{6} y + 3 - \frac{y^{2}}{4} d y$

Passaggio 5.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 2}^{6} y d y + \int_{- 2}^{6} 3 d y + \int_{- 2}^{6} - \frac{y^{2}}{4} d y$

Passaggio 5.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + \int_{- 2}^{6} 3 d y + \int_{- 2}^{6} - \frac{y^{2}}{4} d y$

Passaggio 5.6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + 3 y]_{- 2}^{6} + \int_{- 2}^{6} - \frac{y^{2}}{4} d y$

Passaggio 5.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + 3 y]_{- 2}^{6} - \int_{- 2}^{6} \frac{y^{2}}{4} d y$

Passaggio 5.8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + 3 y]_{- 2}^{6} - (\frac{1}{4} \int_{- 2}^{6} y^{2} d y)$

Passaggio 5.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6} + 3 y]_{- 2}^{6} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}$

Passaggio 5.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6}$ e $3 y]_{- 2}^{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y]_{- 2}^{6} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}$

Passaggio 5.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.1

Calcola $\frac{1}{2} y^{2} + 3 y$ per $6$ e per $- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}$

Passaggio 5.10.2.2

Calcola $\frac{1}{3} y^{3}$ per $6$ e per $- 2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 36 + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $36$ .

$\frac{36}{2} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.3

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.3.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{18}{1} + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.3.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$18 + 3 \cdot 6 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.4

Moltiplica $3$ per $6$ .

$18 + 18 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.5

Somma $18$ e $18$ .

$36 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.6

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$36 - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.7

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$36 - (\frac{4}{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.8

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$36 - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$36 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$36 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$36 - (\frac{2}{1} + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.8.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$36 - (2 + 3 \cdot - 2) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.9

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$36 - (2 - 6) - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.10

Sottrai $6$ da $2$ .

$36 - - 4 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$36 + 4 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.12

Somma $36$ e $4$ .

$40 - \frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 6^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.13

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 216 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.14

$\frac{1}{3}$ e $216$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{216}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.15

Elimina il fattore comune di $216$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.15.1

Scomponi $3$ da $216$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.15.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$40 - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$40 - \frac{1}{4} (\frac{72}{1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.15.2.4

Dividi $72$ per $1$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

Passaggio 5.10.2.3.16

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

Passaggio 5.10.2.3.17

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 + 8 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 5.10.2.3.18

$8$ e $\frac{1}{3}$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 + \frac{8}{3})$

Passaggio 5.10.2.3.19

Per scrivere $72$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$40 - \frac{1}{4} (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3})$

Passaggio 5.10.2.3.20

$72$ e $\frac{3}{3}$ .

$40 - \frac{1}{4} (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3})$

Passaggio 5.10.2.3.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$40 - \frac{1}{4} \cdot \frac{72 \cdot 3 + 8}{3}$

Passaggio 5.10.2.3.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.22.1

Moltiplica $72$ per $3$ .

$40 - \frac{1}{4} \cdot \frac{216 + 8}{3}$

Passaggio 5.10.2.3.22.2

Somma $216$ e $8$ .

$40 - \frac{1}{4} \cdot \frac{224}{3}$

Passaggio 5.10.2.3.23

Moltiplica $\frac{224}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$40 - \frac{224}{3 \cdot 4}$

Passaggio 5.10.2.3.24

Moltiplica $3$ per $4$ .

$40 - \frac{224}{12}$

Passaggio 5.10.2.3.25

Elimina il fattore comune di $224$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.25.1

Scomponi $4$ da $224$ .

$40 - \frac{4 (56)}{12}$

Passaggio 5.10.2.3.25.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.25.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$40 - \frac{4 \cdot 56}{4 \cdot 3}$

Passaggio 5.10.2.3.25.2.2

Elimina il fattore comune.

$40 - \frac{4 \cdot 56}{4 \cdot 3}$

Passaggio 5.10.2.3.25.2.3

Riscrivi l'espressione.

$40 - \frac{56}{3}$

Passaggio 5.10.2.3.26

Per scrivere $40$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$40 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3}$

Passaggio 5.10.2.3.27

$40$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{40 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3}$

Passaggio 5.10.2.3.28

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{40 \cdot 3 - 56}{3}$

Passaggio 5.10.2.3.29

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.29.1

Moltiplica $40$ per $3$ .

$\frac{120 - 56}{3}$

Passaggio 5.10.2.3.29.2

Sottrai $56$ da $120$ .

$\frac{64}{3}$

Passaggio 6