Calcolo Esempi

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$8 = \sqrt{x}$

Passaggio 1.2

Risolvi $8 = \sqrt{x}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{x} = 8$ .

$\sqrt{x} = 8$

Passaggio 1.2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 8^{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Semplifica.

$x = 8^{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = 64$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $64$ .

$y = \sqrt{64}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $\sqrt{64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \sqrt{64}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 8$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(64, 8)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Integra per trovare l'area tra $0$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

Passaggio 3.1.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Passaggio 3.1.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Passaggio 3.1.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Passaggio 3.1.6

Applica la regola costante.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

Passaggio 3.1.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.1

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ e $- 8 x]_{0}^{64}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

Passaggio 3.1.7.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.2.1

Calcola $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ per $64$ e per $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.2.2.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.4

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.5

$\frac{2}{3}$ e $512$ .

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.6

Moltiplica $2$ per $512$ .

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.7

Moltiplica $- 8$ per $64$ .

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.8

Per scrivere $- 512$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.9

$- 512$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.2.2.11.1

Moltiplica $- 512$ per $3$ .

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.11.2

Sottrai $1536$ da $1024$ .

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.13

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.14

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.7.2.2.15.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.15.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.16

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.17

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.18

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

Passaggio 3.1.7.2.2.19

Somma $0$ e $0$ .

$- \frac{512}{3} - 0$

Passaggio 3.1.7.2.2.20

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{512}{3} + 0$

Passaggio 3.1.7.2.2.21

Somma $- \frac{512}{3}$ e $0$ .

$- \frac{512}{3}$

Passaggio 3.2

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.5

Applica la regola costante.

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Passaggio 3.9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Calcola $8 x$ per $64$ e per $0$ .

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Passaggio 3.9.2.2

Calcola $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $64$ e per $0$ .

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.1

Moltiplica $8$ per $64$ .

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.2

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.3

Somma $512$ e $0$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.4

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.5

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.7

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.8

Moltiplica $2$ per $512$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.9

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.10

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.11.1

Elimina il fattore comune.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.11.2

Riscrivi l'espressione.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.12

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.13

Moltiplica $2$ per $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.14

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.14.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Passaggio 3.9.2.3.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.14.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Passaggio 3.9.2.3.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

Passaggio 3.9.2.3.14.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

Passaggio 3.9.2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

Passaggio 3.9.2.3.16

Somma $\frac{1024}{3}$ e $0$ .

$512 - \frac{1024}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.17

Per scrivere $512$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.18

$512$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.20.1

Moltiplica $512$ per $3$ .

$\frac{1536 - 1024}{3}$

Passaggio 3.9.2.3.20.2

Sottrai $1024$ da $1536$ .

$\frac{512}{3}$

Passaggio 4