Calcolo Esempi

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ come funzione.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.9.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Espandi $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.6.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.8.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.8.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.10.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.2.2

Somma $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.2.3

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.2.4

Somma $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.3.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.3.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)] - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)] - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)] - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.8.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.8.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.8.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.8.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.5.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.5.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7.5.3

$2$ e $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.1

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.2

Espandi $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.3.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.3.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (2 (x^{1} x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.7.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.9.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.9.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.9.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.10

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.11

Espandi $(- 4 x - 4) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.12.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.12.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.12.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.12.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.12.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.12.2

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.12.3

Somma $- 4 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.13.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.13.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.13.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x^{1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.13.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.13.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.13.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.14

Espandi $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.14.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.2

Somma $- 4 x^{3}$ e $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.15.3

Somma $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.16

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.17

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.1.18

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.2

Sottrai $8 x^{5}$ da $4 x^{5}$ .

$\frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.4.3

Somma $4 x$ e $8 x$ .

$\frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.5.1

Scomponi $4 x$ da $- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.5.1.1

Scomponi $4 x$ da $- 4 x^{5}$ .

$\frac{4 x (- x^{4}) + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.1.2

Scomponi $4 x$ da $8 x^{3}$ .

$\frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.1.3

Scomponi $4 x$ da $12 x$ .

$\frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.1.4

Scomponi $4 x$ da $4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2})$ .

$\frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.1.5

Scomponi $4 x$ da $4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)$ .

$\frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$\frac{4 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.4

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.5.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.5.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 u$ .

$\frac{4 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.4.1.2

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$\frac{4 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.5.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{4 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{4 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 1$ .

$\frac{4 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{4 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.6

Elimina il fattore comune di $- x^{2} - 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.6.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{4 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.6.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{4 x (- (x^{2}) - 1 (1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{4 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.6.4

Riscrivi $- (x^{2} + 1)$ come $- 1 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.6.5

Scomponi $x^{2} + 1$ da $4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot (- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8.6.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.6.6.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot (- 1) (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.8.6.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot (- 1) (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.8.6.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x \cdot (- 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.8.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.8.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x (x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.2.3.3.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 2.2.3.3.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.3.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.3.3.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.3.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 2.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x^{2} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 3.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 3.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 3.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = - \frac{4 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $16$ e $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} - 3)}{17^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $17$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} - 3)}{4913}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 (16 - 3)}{4913}$

Passaggio 5.2.3.2

Sottrai $3$ da $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 16 \cdot 13}{4913}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $- 16$ per $13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 208}{4913}$

Passaggio 5.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = \frac{208}{4913}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $\frac{208}{4913}$ .

$\frac{208}{4913}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - \sqrt{3})$ perché $f'' (- 4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - \sqrt{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \sqrt{3}, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f'' (- 1) = - \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 (1 - 3)}{8}$

Passaggio 6.2.3.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (- 1) = - \frac{- 4 \cdot - 2}{8}$

Passaggio 6.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$f'' (- 1) = - \frac{8}{8}$

Passaggio 6.2.4.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 1) = - \frac{8}{8}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 6.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (- 1) = - 1$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \sqrt{3}, 0)$ perché $f'' (- 1)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \sqrt{3}, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \sqrt{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f'' (1) = - \frac{4 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (1) = - \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = - \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (1) = - \frac{4 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1) = - \frac{4 (1^{2} - 3)}{8}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = - \frac{4 (1 - 3)}{8}$

Passaggio 7.2.3.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (1) = - \frac{4 \cdot - 2}{8}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$f'' (1) = - \frac{- 8}{8}$

Passaggio 7.2.4.2

Dividi $- 8$ per $8$ .

$f'' (1) = 1$

Passaggio 7.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (1) = 1$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \sqrt{3})$ perché $f'' (1)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \sqrt{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(\sqrt{3}, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = - \frac{4 (4) ({(4)}^{2} - 3)}{{({(4)}^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (4^{2} - 3)}{{(4^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (4^{2} - 3)}{{(16 + 1)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $16$ e $1$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (4^{2} - 3)}{17^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $17$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (4^{2} - 3)}{4913}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16 (16 - 3)}{4913}$

Passaggio 8.2.3.2

Sottrai $3$ da $16$ .

$f'' (4) = - \frac{16 \cdot 13}{4913}$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $16$ per $13$ .

$f'' (4) = - \frac{208}{4913}$

Passaggio 8.2.5

La risposta finale è $- \frac{208}{4913}$ .

$- \frac{208}{4913}$

Passaggio 8.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(\sqrt{3}, \infty)$ perché $f'' (4)$ è negativo.

Funzione concava su $(\sqrt{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 9

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - \sqrt{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- \sqrt{3}, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(0, \sqrt{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(\sqrt{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 10