Calcolo Esempi

$\sqrt{x - 9}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{x - 9}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{x - 9}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 9}$ come ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.7.3

Sposta ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 2.1.1.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 2.1.1.10

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 2.1.1.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.1.11.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.6.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.7.2

${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.7.3

Sposta ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Passaggio 2.1.2.7.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.2.7.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Passaggio 2.1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 2.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Passaggio 2.1.2.10

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 2.1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \sqrt{x - 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x - 9}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x - 9 \geq 0$

Passaggio 3.2

Aggiungi $9$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 9$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[9, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 9}$

Notazione degli intervalli:

$[9, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 9}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$[9, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $[9, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $12$ nell'espressione.

$f'' (12) = - \frac{1}{4 {((12) - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $9$ da $12$ .

$f'' (12) = - \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $[9, \infty)$ perché $f'' (12)$ è negativo.

Funzione concava su $[9, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6