Calcolo Esempi

$\frac{(x^{2} + 5 x)}{25 - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{(x^{2} + 5 x)}{25 - x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{(x^{2} + 5 x)}{25 - x^{2}}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 5 x$ e $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$\frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x] - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $25 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.7

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.10.2

Moltiplica $x^{2} + 5 x$ per $1$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.12

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot (x^{2} + 5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1.1

Espandi $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.1

Moltiplica $2$ per $25$ .

$\frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.2

Moltiplica $25$ per $5$ .

$\frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.2.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.1.5

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.2

Combina i termini opposti in $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.2.1

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.2.2

Somma $50 x + 125 - 5 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.3.3

Somma $- 5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$\frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.4

Riordina i termini.

$\frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2} + 50 x + 125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.1.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.2

Scomponi $5$ da $50 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.3

Scomponi $5$ da $125$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.4

Scomponi $5$ da $5 x^{2} + 5 (10 x)$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.1.5

Scomponi $5$ da $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.5.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Passaggio 2.1.1.3.5.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.5.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.6.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.6.2

Riordina $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 5$ e $b = x$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.6.4

Applica la regola del prodotto a $(5 + x) (5 - x)$ .

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.7

Elimina il fattore comune di ${(x + 5)}^{2}$ e ${(5 + x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.7.1

Riordina i termini.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ come ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{({(5 - x)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 - x)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{- 2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 5 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 - x$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$5 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - x$ .

$5 (- 2 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$- 10 ({(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Passaggio 2.1.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.1.2.3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.1.2.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.1.2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(5 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.3.8

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10 {(5 - x)}^{- 3}$

Passaggio 2.1.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

$10$ e $\frac{1}{{(5 - x)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(5 - x)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{10}{{(- x + 5)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$10 = 0$

Passaggio 2.2.3

Poiché $10 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$25 - x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 25$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 25$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Dividi $- 25$ per $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Passaggio 3.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{25}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 3.2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 5$

Passaggio 3.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 5$

Passaggio 3.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 5$

Passaggio 3.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 5, - 5$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 5, - 5}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 5, - 5}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 5)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f'' (- 8) = \frac{10}{{(- (- 8) + 5)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f'' (- 8) = \frac{10}{{(8 + 5)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Somma $8$ e $5$ .

$f'' (- 8) = \frac{10}{13^{3}}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $13$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 8) = \frac{10}{2197}$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $\frac{10}{2197}$ .

$\frac{10}{2197}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 5)$ perché $f'' (- 8)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 5)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 5, 5)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{10}{{(- (0) + 5)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{10}{{(0 + 5)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $0$ e $5$ .

$f'' (0) = \frac{10}{5^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = \frac{10}{125}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $10$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$f'' (0) = \frac{5 (2)}{125}$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$f'' (0) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 25}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 25}$

Passaggio 6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{2}{25}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 5, 5)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 5, 5)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(5, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f'' (8) = \frac{10}{{(- (8) + 5)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f'' (8) = \frac{10}{{(- 8 + 5)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.2

Somma $- 8$ e $5$ .

$f'' (8) = \frac{10}{{(- 3)}^{3}}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (8) = \frac{10}{- 27}$

Passaggio 7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (8) = - \frac{10}{27}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(5, \infty)$ perché $f'' (8)$ è negativo.

Funzione concava su $(5, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 5)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione convessa su $(- 5, 5)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(5, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 9