Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{2} + 64}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 64$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 64$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.3

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.9.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.9.3.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.9.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 8$ e $g (x) = x - 8$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.4.2

Moltiplica $x + 8$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.7

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.8.2

Moltiplica $x - 8$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.8.4.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.4.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.2

Espandi $(- 2 x - 16) (x - 8)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.2.1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.3.1.2

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 16$ per $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.3.2

Sottrai $16 x$ da $16 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.3.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.2.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.2.3

Somma $0$ e $128 x$ .

$\frac{128 x}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.3

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.3.1

Scomponi $x$ da $128 x$ .

$\frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Passaggio 2.1.2.9.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{128}{x^{3}}$ .

$\frac{128}{x^{3}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{128}{x^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{128}{x^{3}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$128 = 0$

Passaggio 2.2.3

Poiché $128 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + 64}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{128}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{128}{- 8}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $128$ per $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 16$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 16$ .

$- 16$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{128}{{(2)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = \frac{128}{8}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $128$ per $8$ .

$f'' (2) = 16$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $16$ .

$16$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8