Calcolo Esempi

$3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Passaggio 1

Scrivi $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ come funzione.

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 6 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 6 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.1.2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 (- \sin (x))$

Passaggio 2.1.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 \cos^{2} (x) - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Passaggio 2.1.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Sostituisci $- 6 \cos^{2} (x)$ con $- 6 (1 - \sin^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 6 (1 - \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 6 \cdot 1 - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6 - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$- 6 + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.4

Somma $6 \sin^{2} (x)$ e $6 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 + 12 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2.5

Riordina il polinomio.

$12 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) - 6 = 0$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci $u$ a $\sin (x)$ .

$12 {(u)}^{2} + 6 (u) - 6 = 0$

Passaggio 2.2.7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Scomponi $6$ da $12 u^{2} + 6 u - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1.1

Scomponi $6$ da $12 u^{2}$ .

$6 (2 u^{2}) + 6 u - 6 = 0$

Passaggio 2.2.7.1.2

Scomponi $6$ da $6 u$ .

$6 (2 u^{2}) + 6 u - 6 = 0$

Passaggio 2.2.7.1.3

Scomponi $6$ da $- 6$ .

$6 (2 u^{2}) + 6 u + 6 (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.7.1.4

Scomponi $6$ da $6 (2 u^{2}) + 6 u$ .

$6 (2 u^{2} + u) + 6 (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.7.1.5

Scomponi $6$ da $6 (2 u^{2} + u) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Passaggio 2.2.7.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$6 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Passaggio 2.2.7.2.1.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$6 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Passaggio 2.2.7.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$6 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Passaggio 2.2.7.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$6 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Passaggio 2.2.7.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$6 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.7.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$6 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.7.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 2.2.8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 2.2.9

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 2.2.9.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 2.2.9.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.9.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.10

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 2.2.10.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 2.2.11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 2.2.12

Sostituisci $\sin (x)$ a $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 2.2.13

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 2.2.14

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.2.14.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.2.14.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.2.14.4

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.2.14.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.4.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.2.14.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 2.2.14.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.4.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 2.2.14.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 2.2.14.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.2.14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.2.14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.2.14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.2.14.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.2.15

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 2.2.15.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.15.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 2.2.15.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 2.2.15.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.2.15.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.2.15.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.2.15.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.2.15.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.2.15.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 2.2.15.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.15.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.15.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.2.15.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.2.15.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.2.15.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.2.15.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.2.16

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.2.17

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 6 \cos^{2} (0) + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 1^{2} + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Passaggio 5.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = - 6 \cdot 1 + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Passaggio 5.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \cdot 0^{2} + 6 \sin (0)$

Passaggio 5.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \cdot 0 + 6 \sin (0)$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 6 \sin (0)$

Passaggio 5.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 6 \cdot 0$

Passaggio 5.2.1.8

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 0$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 6$ e $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 6$ e $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6