Calcolo Esempi

$y = 9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 9$

Passaggio 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci $x$ per $9$ .

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Moltiplica $9$ per ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.1

Moltiplica $9$ per ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $1$ .

$y = 9^{1} {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = 9^{1 + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = 9^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = 9^{\frac{2 + 1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$y = 9^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 3^{3} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y = 27 + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = 27 + {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.4.1.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 1.2.4.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 1.2.4.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 27 + 3^{3}$

Passaggio 1.2.4.1.9

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y = 27 + 27$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $27$ e $27$ .

$y = 54$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 9$ e $y = 54$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.9

$9$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Passaggio 2.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Passaggio 2.3.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.4.2

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.5

Calcola la derivata per $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3^{1 + 1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3^{2}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.6.1.3

Sposta ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.6.1.4

Moltiplica $9$ per $9^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1

Moltiplica $9$ per $9^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.4.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1} \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.6.1.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.6.1.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.6.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.6.1.4.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.6.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.5.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.6.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 2.6.1.5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 2.6.1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{1}}{2}$

Passaggio 2.6.1.5.4

Calcola l'esponente.

$\frac{9}{2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 + 3}{2}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Somma $9$ e $3$ .

$\frac{12}{2}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Dividi $12$ per $2$ .

$6$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $6$ e un punto dato $(9, 54)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (54) = 6 \cdot (x - (9))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $6 \cdot (x - 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi.

$y - 54 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - 9)$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 54 = 6 x + 6 \cdot - 9$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $6$ per $- 9$ .

$y - 54 = 6 x - 54$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $54$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 6 x - 54 + 54$

Passaggio 3.3.2.2

Combina i termini opposti in $6 x - 54 + 54$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Somma $- 54$ e $54$ .

$y = 6 x + 0$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $6 x$ e $0$ .

$y = 6 x$

Passaggio 4