Calcolo Esempi

${(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ $x = 1$

Passaggio 1

Scrivi ${(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ come un'equazione.

$y = {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = {(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = {(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica ${(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$y = {(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Sottrai $3$ da $12$ .

$y = 9^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.2.1.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2.2.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 3^{1}$

Passaggio 2.2.2.3

Calcola l'esponente.

$y = 3$

Passaggio 3

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 12 x - 3$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $12 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $12 x - 3$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.6.2

$\frac{1}{2}$ e ${(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.6.3

Sposta ${(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.8

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.10

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.11

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 + 0)$

Passaggio 3.12

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.12.1

Somma $12$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 12$

Passaggio 3.12.2

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $12$ .

$\frac{12}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.12.3

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Scomponi $2$ da $2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 ({(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 3.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{{(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.14

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$\frac{6}{{(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.15.1.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$\frac{6}{{(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.15.1.2

Sottrai $3$ da $12$ .

$\frac{6}{9^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.15.1.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{6}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.15.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 3.15.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.15.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 3.15.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6}{3^{1}}$

Passaggio 3.15.1.6

Calcola l'esponente.

$\frac{6}{3}$

Passaggio 3.15.2

Dividi $6$ per $3$ .

$2$

Passaggio 4

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.1

Usa il coefficiente angolare $2$ e un punto dato $(1, 3)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 2 \cdot (x - (1))$

Passaggio 4.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 4.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.3.1

Semplifica $2 \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 4.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 1)$

Passaggio 4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y - 3 = 2 x - 2$

Passaggio 4.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2 x - 2 + 3$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$y = 2 x + 1$

Passaggio 5