Calcolo Esempi

$\sin (3 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{3})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = \frac{π}{3}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sin (3 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 y$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 y$ .

$\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (3 y) (3 y')$

Passaggio 1.2.4

Riordina i fattori di $\cos (3 y) (3 y')$ .

$3 \cos (3 y) y'$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 \cos (3 y) y' = 1$

Passaggio 1.5

Dividi per $3 \cos (3 y)$ ciascun termine in $3 \cos (3 y) y' = 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Dividi per $3 \cos (3 y)$ ciascun termine in $3 \cos (3 y) y' = 1$ .

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (3 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.5.3.1

Frazioni separate.

$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 y)}$

Passaggio 1.5.3.2

Converti da $\frac{1}{\cos (3 y)}$ a $\sec (3 y)$ .

$y' = \frac{1}{3} \sec (3 y)$

Passaggio 1.5.3.3

$\frac{1}{3}$ e $\sec (3 y)$ .

$y' = \frac{\sec (3 y)}{3}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (3 y)}{3}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 0$ e $y = \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{\sec (3 y)}{3}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$\frac{\sec (3 (\frac{π}{3}))}{3}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec (3 \frac{π}{3})}{3}$

Passaggio 1.7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sec (π)}{3}$

Passaggio 1.7.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel secondo quadrante.

$\frac{- \sec (0)}{3}$

Passaggio 1.7.3.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Passaggio 1.7.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Passaggio 1.7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- \frac{1}{3}$ e un punto dato $(0, \frac{π}{3})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot x$

Passaggio 2.3.1.2

$x$ e $\frac{1}{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{x}{3}$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{π}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{1}{3} x) + \frac{π}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{3} x + \frac{π}{3}$

Passaggio 3