Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{2}{3}}$ , $(8, 4)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 8$ e $y = 4$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 1.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Passaggio 1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.7.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.8

Calcola la derivata per $x = 8$ .

$\frac{2}{3 {(8)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.9

Semplifica.

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Passaggio 1.9.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.9.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.9.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 1.9.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 1.9.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 1.9.1.4

Calcola l'esponente.

$\frac{2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.9.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 1.9.2.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{2}{6}$

Passaggio 1.9.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Passaggio 1.9.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.9.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.9.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{1}{3}$ e un punto dato $(8, 4)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{3} \cdot (x - (8))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot (x - 8)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 4 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Passaggio 2.3.1.5

$\frac{1}{3}$ e $- 8$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 4 = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

$4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 12}{3}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 8$ e $12$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Passaggio 3