Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ , $x = 0$

Passaggio 1

Considera la funzione usata per trovare la linearizzazione in $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Passaggio 2

Sostituisci il valore di $a = 0$ nella funzione di linearizzazione.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Passaggio 3

Calcola $f (0)$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Passaggio 3.2

Semplifica $\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$ .

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Passaggio 3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$\sqrt{1} + \sin (0)$

Passaggio 3.2.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$1 + \sin (0)$

Passaggio 3.2.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4

Trova la derivata e calcolala con $0$ .

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Passaggio 4.1

Trova la derivata di $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ .

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Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x + 1} + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 4.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.11

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2.14

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (x)$

Passaggio 4.2

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1.1.1

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Passaggio 4.3.1.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2 \cdot 1} + \cos (0)$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} + \cos (0)$

Passaggio 4.3.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} + 1$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + 2}{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i componenti nella funzione di linearizzazione per trovare la linearizzazione a $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} (x - 0)$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Sottrai $0$ da $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} x$

Passaggio 6.2

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3 x}{2}$

Passaggio 7