Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sposta $\frac{e^{- x}}{2}$ sul lato destro dell'equazione sottraendolo a entrambi i lati.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

Passaggio 1.2.2

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$e^{x} = - e^{- x}$

Passaggio 1.2.3

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $0$ e $2$ .

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Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $0$ da $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Passaggio 4.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Passaggio 4.5

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Passaggio 4.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Passaggio 4.7

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.7.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.7.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.7.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.7.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 4.7.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.7.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Passaggio 4.7.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 4.7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 4.7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Passaggio 4.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Passaggio 4.9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Passaggio 4.10

$\frac{1}{2}$ e $e^{u}]_{0}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Passaggio 4.11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.11.1

Calcola $e^{x}$ per $2$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Passaggio 4.11.2

Calcola $e^{u}$ per $- 2$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Passaggio 4.11.3

Semplifica.

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Passaggio 4.11.3.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Passaggio 4.11.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Passaggio 4.11.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 4.11.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Passaggio 4.11.3.5

Per scrivere $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Passaggio 4.11.3.6

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Passaggio 4.11.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Passaggio 4.11.3.8

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Passaggio 4.11.3.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.11.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Passaggio 4.11.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Passaggio 4.11.3.10

Moltiplica $e^{2} - 1$ per $1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Passaggio 5

Somma le aree $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

Passaggio 5.1.4

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

Passaggio 5.1.5

Somma $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ e $0$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

Passaggio 5.1.6

Riscrivi $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.1.6.1

Riscrivi $\frac{1}{e^{2}}$ come ${(\frac{1}{e})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

Passaggio 5.1.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e$ e $b = \frac{1}{e}$ .

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Passaggio 5.1.7

Per scrivere $e$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Passaggio 5.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Passaggio 5.1.9

Moltiplica $e e$ .

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Passaggio 5.1.9.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Passaggio 5.1.9.2

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Passaggio 5.1.9.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Passaggio 5.1.9.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Passaggio 5.1.10

Per scrivere $e$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

Passaggio 5.1.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

Passaggio 5.1.12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.12.1

Moltiplica $e e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.12.1.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

Passaggio 5.1.12.1.2

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

Passaggio 5.1.12.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

Passaggio 5.1.12.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

Passaggio 5.1.12.2

Riscrivi $e^{2} - 1$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.1.12.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

Passaggio 5.1.12.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e$ e $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{e^{2} + 1}{e}$ per $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

Passaggio 5.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

Passaggio 5.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

Passaggio 5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5

Combina.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Passaggio 5.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.6.1

Moltiplica $e^{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Passaggio 5.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 6