Calcolo Esempi

$y = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $2 \sin (x)$ da $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 3.3.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.3.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.4

Imposta $- \cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $- \cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $- \cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \cos (x) = 1$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \cos (x) = 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.2.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 3.4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 3.4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.4.2.5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 3.4.2.6

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 3.4.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.4.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ con $x = π$ .

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Passaggio 4.1

$f (π) = 2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

Passaggio 4.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

Passaggio 4.2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (π) = - 2 + \cos^{2} (π)$

Passaggio 4.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (π) = - 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

Passaggio 4.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (π) = - 2 + 1$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (π) = - 1$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ è $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Passaggio 6