Calcolo Esempi

$y = | x^{2} - 16 |$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

Passaggio 2

Trova la derivata.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Passaggio 2.2.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Passaggio 2.2.4.2

$2$ e $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Passaggio 2.2.4.3

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ e $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.3.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3} - 32 x$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

Passaggio 3.2.1.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 32 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

Passaggio 3.2.1.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ .

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Passaggio 3.2.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Passaggio 3.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.2.4

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 3.2.4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 3.2.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.2.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4, 4$

Passaggio 3.3

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = | x^{2} - 16 |$ con $x = 0$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = | {(0)}^{2} - 16 |$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = | 0 - 16 |$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$f (0) = | - 16 |$

Passaggio 4.2.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 16$ e $0$ è $16$ .

$f (0) = 16$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $16$ .

$16$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = | x^{2} - 16 |$ è $y = 16$ .

$y = 16$

Passaggio 6