Calcolo Esempi

$4 x + 5 y^{2} - y = 3$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x + 5 y^{2} - y - 3 = 0$

Passaggio 1.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori $a = 5$ , $b = - 1$ e $c = 4 x - 3$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (4 x - 3))}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.4.1.4

Moltiplica $4$ per $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.4.1.5

Moltiplica $- 20$ per $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.4.1.6

Somma $1$ e $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Passaggio 1.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica $4$ per $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.5.1.5

Moltiplica $- 20$ per $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.5.1.6

Somma $1$ e $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Passaggio 1.5.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.6.1.4

Moltiplica $4$ per $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.6.1.5

Moltiplica $- 20$ per $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.6.1.6

Somma $1$ e $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Passaggio 1.6.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Passaggio 1.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x + 5 y^{2} - y = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (4 x + 5 y^{2} - y) = \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 5 y^{2} - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 + 5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.3.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$4 + 10 y y' + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 + 10 y y' - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 + 10 y y' - y'$

Passaggio 3.2.5

Riordina i termini.

$10 y y' + 4 - y'$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$10 y y' + 4 - y' = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 y y' - y' = - 4$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y'$ da $10 y y' - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $y'$ da $10 y y'$ .

$y' (10 y) - y' = - 4$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot - 1 = - 4$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (10 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (10 y - 1) = - 4$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $10 y - 1$ ciascun termine in $y' (10 y - 1) = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $10 y - 1$ ciascun termine in $y' (10 y - 1) = - 4$ .

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Passaggio 3.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{4}{10 y - 1}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{10 y - 1}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 = 0$

Passaggio 4.2

Poiché $4 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 5

Non sono state trovate soluzioni impostando la derivata uguale a $0$ , $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ quindi non ci sono tangenti orizzontali.

Nessuna tangente orizzontale trovata

Passaggio 6