Calcolo Esempi

$y = 4 \sin (π x + y)$ , $(- 1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = - 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 \sin (π x + y))$

Passaggio 1.2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 1.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (π x + y)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x + y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x + y$ .

$4 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $π x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.3.3.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$4 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 1.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 \cos (π x + y) (π + y')$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 4 \cos (π x + y) (π + y')$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Semplifica $4 \cos (π x + y) (π + y')$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = 4 \cos (π x + y) π + 4 \cos (π x + y) y'$

Passaggio 1.5.1.1.2

Riordina i fattori in $4 \cos (π x + y) π + 4 \cos (π x + y) y'$ .

$y' = 4 π \cos (π x + y) + 4 y' \cos (π x + y)$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $4 y' \cos (π x + y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' - 4 y' \cos (π x + y) = 4 π \cos (π x + y)$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $y'$ da $y' - 4 y' \cos (π x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' \cos (π x + y) = 4 π \cos (π x + y)$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 4 y' \cos (π x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 \cos (π x + y)) = 4 π \cos (π x + y)$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' \cdot 1 + y' (- 4 \cos (π x + y))$ .

$y' (1 - 4 \cos (π x + y)) = 4 π \cos (π x + y)$

Passaggio 1.5.4

Dividi per $1 - 4 \cos (π x + y)$ ciascun termine in $y' (1 - 4 \cos (π x + y)) = 4 π \cos (π x + y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Dividi per $1 - 4 \cos (π x + y)$ ciascun termine in $y' (1 - 4 \cos (π x + y)) = 4 π \cos (π x + y)$ .

$\frac{y' (1 - 4 \cos (π x + y))}{1 - 4 \cos (π x + y)} = \frac{4 π \cos (π x + y)}{1 - 4 \cos (π x + y)}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - 4 \cos (π x + y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 - 4 \cos (π x + y))}{1 - 4 \cos (π x + y)} = \frac{4 π \cos (π x + y)}{1 - 4 \cos (π x + y)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4 π \cos (π x + y)}{1 - 4 \cos (π x + y)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 π \cos (π x + y)}{1 - 4 \cos (π x + y)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = - 1$ e $y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$\frac{4 π \cos (π (- 1) + y)}{1 - 4 \cos (π (- 1) + y)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $0$ nell'espressione.

$\frac{4 π \cos (π (- 1) + 0)}{1 - 4 \cos (π (- 1) + 0)}$

Passaggio 1.7.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{4 π \cos (π (- 1) + 0)}{1 - 4 \cos (π (- 1) + 0)}$

Passaggio 1.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 π \cos (- 1 \cdot π + 0)}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Passaggio 1.7.4.1.2

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$\frac{4 π \cos (- π + 0)}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Passaggio 1.7.4.2

Somma $- π$ e $0$ .

$\frac{4 π \cos (- π)}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Passaggio 1.7.4.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{4 π (- \cos (0))}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Passaggio 1.7.4.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{4 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Passaggio 1.7.4.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 π \cdot - 1}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Passaggio 1.7.4.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cos (π \cdot - 1 + 0)}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cos (- 1 \cdot π + 0)}$

Passaggio 1.7.5.1.2

Riscrivi $- 1 π$ come $- π$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cos (- π + 0)}$

Passaggio 1.7.5.2

Somma $- π$ e $0$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cos (- π)}$

Passaggio 1.7.5.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{- 4 π}{1 - 4 (- \cos (0))}$

Passaggio 1.7.5.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 (- 1 \cdot 1)}$

Passaggio 1.7.5.5

Moltiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 4 π}{1 - 4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.7.5.5.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{- 4 π}{1 + 4}$

Passaggio 1.7.5.6

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{- 4 π}{5}$

Passaggio 1.7.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 π}{5}$

Passaggio 2

La retta normale è perpendicolare alla retta tangente. Calcola il reciproco negativo del coefficiente angolare della tangente per trovare quello della retta normale.

$\frac{5}{4 π}$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{5}{4 π}$ e un punto dato $(- 1, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{5}{4 π} \cdot (x - (- 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = \frac{5}{4 π} \cdot (x + 1)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = \frac{5}{4 π} \cdot (x + 1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica $\frac{5}{4 π} \cdot (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5}{4 π} x + \frac{5}{4 π} \cdot 1$

Passaggio 3.3.2.2

$\frac{5}{4 π}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{4 π} + \frac{5}{4 π} \cdot 1$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $\frac{5}{4 π}$ per $1$ .

$y = \frac{5 x}{4 π} + \frac{5}{4 π}$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{5}{4 π} x + \frac{5}{4 π}$

Passaggio 4