Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

$\frac{1}{x}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della somma.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln (x))}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Somma $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x}) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.4.2.2

$\ln^{2} (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ per $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Combina.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.6.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.6.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.9

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) (\frac{1}{x})))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.10.2

$\frac{\ln (x)}{x}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.10.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.3.1

Sposta $- 2$ alla sinistra di $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.10.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{(2) \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.10.4

$x$ e $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.10.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.5.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.10.5.2

Dividi $2 \ln (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.10.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.11.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.2.1

Semplifica $- 2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.11.2.2

Semplifica $- 2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.11.2.3

Moltiplica $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.11.2.3.2

Moltiplica $\ln (x^{2})$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.2.11.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx 7.38905639$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $7.38905639$ in $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7.38905639$ nell'espressione.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\ln (7.38905639)}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\log_{2.71828182} (7.38905639)}$

Passaggio 3.1.2.2

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $7.38905639$ è approssimativamente $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{2.00000004}$

Passaggio 3.1.2.3

Dividi $7.38905639$ per $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = 3.69452812$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $3.69452812$ .

$3.69452812$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $7.38905639$ in $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ è $(7.38905639, 3.69452812)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(7.38905639, 3.69452812)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 7.38905639) \cup (7.38905639, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 7.38905639)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7.28905639$ nell'espressione.

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln ({(7.28905639)}^{2}) + \ln ({(7.28905639)}^{2})}{(7.28905639) \ln^{4} (7.28905639)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $7.28905639$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln ({7.28905639}^{2})}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $7.28905639$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $7.28905639$ per $\ln^{4} (7.28905639)$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.3

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (7.28905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.4

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $7.28905639$ è approssimativamente $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{{1.98637409}^{2} - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.5

Eleva $1.98637409$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \log_{2.71828182} (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.7

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $7.28905639$ è approssimativamente $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1 \cdot (1.98637409 \ln (53.13034315)) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.9

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \log_{2.71828182} (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.10

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $53.13034315$ è approssimativamente $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \cdot 3.97274819 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $- 1.98637409$ per $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 7.89136412 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.12

Sottrai $7.89136412$ da $3.94568206$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.13

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \log_{2.71828182} (53.13034315)}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.14

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $53.13034315$ è approssimativamente $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + 3.97274819}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.15

Somma $- 3.94568206$ e $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{0.02706613}{113.47899623}$

Passaggio 5.2.16

Dividi $0.02706613$ per $113.47899623$ .

$f'' (7.28905639) = 0.00023851$

Passaggio 5.2.17

La risposta finale è $0.00023851$ .

$0.00023851$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $7.28905639$ , la derivata seconda è $0.00023851$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 7.38905639)$ .

Crescente su $(- \infty, 7.38905639)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(7.38905639, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7.48905639$ nell'espressione.

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln ({(7.48905639)}^{2}) + \ln ({(7.48905639)}^{2})}{(7.48905639) \ln^{4} (7.48905639)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $7.48905639$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln ({7.48905639}^{2})}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $7.48905639$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $7.48905639$ per $\ln^{4} (7.48905639)$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.3

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (7.48905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.4

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $7.48905639$ è approssimativamente $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{{2.0134428}^{2} - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.5

Eleva $2.0134428$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \log_{2.71828182} (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.7

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $7.48905639$ è approssimativamente $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 1 \cdot (2.0134428 \ln (56.0859657)) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.8

Moltiplica $- 1$ per $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.9

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \log_{2.71828182} (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.10

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $56.0859657$ è approssimativamente $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \cdot 4.02688561 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.11

Moltiplica $- 2.0134428$ per $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 8.10790388 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.12

Sottrai $8.10790388$ da $4.05395194$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.13

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \log_{2.71828182} (56.0859657)}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.14

Il logaritmo in base $2.71828182$ di $56.0859657$ è approssimativamente $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + 4.02688561}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.15

Somma $- 4.05395194$ e $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 0.02706632}{123.07909456}$

Passaggio 6.2.16

Dividi $- 0.02706632$ per $123.07909456$ .

$f'' (7.48905639) = - 0.00021991$

Passaggio 6.2.17

La risposta finale è $- 0.00021991$ .

$- 0.00021991$

Passaggio 6.3

Per $7.48905639$ , la derivata seconda è $- 0.00021991$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(7.38905639, \infty)$ .

Decrescente su $(7.38905639, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(7.38905639, 3.69452812)$ .

$(7.38905639, 3.69452812)$

Passaggio 8