Calcolo Esempi

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Passaggio 1.1.5.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Passaggio 1.1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Passaggio 1.1.5.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Passaggio 1.1.5.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Passaggio 1.1.5.7

Somma $2 x + 4$ e $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Passaggio 1.1.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.1.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.1.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.1.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.1.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.1.7.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.5.1

Somma $1$ e $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.7.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.1.8.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.1.8.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.1.8.4

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Passaggio 1.1.8.4.2

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.4.3

Scomponi ${(x + 1)}^{2}$ da ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.5

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.6

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.7.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.7.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.7.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.7.2

Somma $x$ e $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.8.1

Espandi $(x + 1) (2 x + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.8.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.8.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.8.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8.2.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8.2.1.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8.2.1.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.8.2.2

Somma $4 x$ e $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.9

Somma $2 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

Passaggio 1.1.8.10

Somma $6 x$ e $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

Passaggio 1.1.8.11

Somma $4$ e $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

Passaggio 1.1.8.12

Espandi $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.4.1

Sposta $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.5

Sposta $16$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.7

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.7.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.7.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.8

Moltiplica $2$ per $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.10

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.13.10.1

Sposta $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.10.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.11

Moltiplica $2$ per $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.12

Moltiplica $16$ per $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.13

Moltiplica $5 x^{2}$ per $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.14

Moltiplica $18 x$ per $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

Passaggio 1.1.8.13.15

Moltiplica $16$ per $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Passaggio 1.1.8.14

Somma $18 x^{3}$ e $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Passaggio 1.1.8.15

Somma $16 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Passaggio 1.1.8.16

Somma $52 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

Passaggio 1.1.8.17

Somma $32 x$ e $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $28 x^{3}$ rispetto a $x$ è $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $57$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $57 x^{2}$ rispetto a $x$ è $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $2$ per $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $50 x$ rispetto a $x$ è $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.5.3

Moltiplica $50$ per $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2$ da $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2$ da $20 x^{3}$ .

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2$ da $84 x^{2}$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $2$ da $114 x$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $2$ da $50$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $2$ da $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Passaggio 2.2.1.6

Scomponi $2$ da $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

Passaggio 2.2.1.7

Scomponi $2$ da $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Passaggio 2.2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Passaggio 2.2.2.1.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

Passaggio 2.2.2.1.3.5

Moltiplica $42$ per $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

Passaggio 2.2.2.1.3.6

Somma $- 10$ e $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

Passaggio 2.2.2.1.3.7

Moltiplica $57$ per $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

Passaggio 2.2.2.1.3.8

Sottrai $57$ da $32$ .

$- 25 + 25$

Passaggio 2.2.2.1.3.9

Somma $- 25$ e $25$ .

$0$

Passaggio 2.2.2.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Dividi $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

Passaggio 2.2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $10 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

Passaggio 2.2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $10 x^{3} + 10 x^{2}$

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $32 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $32 x^{2} + 32 x$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Passaggio 2.2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $25 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Passaggio 2.2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

Passaggio 2.2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $25 x + 25$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

Passaggio 2.2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

Passaggio 2.2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

Passaggio 2.2.2.1.6

Scrivi $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ come insieme di fattori.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.5

Imposta $10 x^{2} + 32 x + 25$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $10 x^{2} + 32 x + 25$ uguale a $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 10$ , $b = 32$ e $c = 25$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 40$ per $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Sottrai $1000$ da $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $24$ come $2^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 40$ per $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.4.1.3

Sottrai $1000$ da $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4

Riscrivi $24$ come $2^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.5.2.4.5

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.5.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

Passaggio 2.5.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

Passaggio 2.5.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 40$ per $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.5.1.3

Sottrai $1000$ da $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4

Riscrivi $24$ come $2^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Passaggio 2.5.2.5.3

Semplifica $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.5.2.5.5

Riscrivi $- 16$ come $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.5.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

Passaggio 2.5.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

Passaggio 2.5.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ vera.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {((- 1) + 1)}^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (- 1) = 0^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (- 1) = 0 {((- 1) + 2)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.3

Somma $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = 0 \cdot 1^{2}$

Passaggio 3.1.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- 1) = 0 \cdot 1$

Passaggio 3.1.2.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 3.1.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ è $(- 1, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 1.35505102$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.35505102$ nell'espressione.

$f (- 1.35505102) = {((- 1.35505102) + 1)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $- 1.35505102$ e $1$ .

$f (- 1.35505102) = {(- 0.35505102)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Eleva $- 0.35505102$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $- 1.35505102$ e $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot {0.64494897}^{2}$

Passaggio 3.3.2.4

Eleva $0.64494897$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot 0.41595917$

Passaggio 3.3.2.5

Moltiplica $- 0.04475816$ per $0.41595917$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.01861757$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $- 0.01861757$ .

$- 0.01861757$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 1.35505102$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ è $(- 1.35505102, - 0.01861757)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1.35505102, - 0.01861757)$

Passaggio 3.5

Sostituisci $- 1.84494897$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.84494897$ nell'espressione.

$f (- 1.84494897) = {((- 1.84494897) + 1)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $- 1.84494897$ e $1$ .

$f (- 1.84494897) = {(- 0.84494897)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Passaggio 3.5.2.2

Eleva $- 0.84494897$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Passaggio 3.5.2.3

Somma $- 1.84494897$ e $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot {0.15505102}^{2}$

Passaggio 3.5.2.4

Eleva $0.15505102$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot 0.02404082$

Passaggio 3.5.2.5

Moltiplica $- 0.60324183$ per $0.02404082$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.01450242$

Passaggio 3.5.2.6

La risposta finale è $- 0.01450242$ .

$- 0.01450242$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $- 1.84494897$ in $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ è $(- 1.84494897, - 0.01450242)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1.84494897, - 0.01450242)$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- 1, 0), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1.84494897, - 0.01450242)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1.84494897) \cup (- 1.84494897, - 1.35505102) \cup (- 1.35505102, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1.84494897)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.94494897$ nell'espressione.

$f'' (- 1.94494897) = 20 {(- 1.94494897)}^{3} + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.94494897$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.94494897) = 20 \cdot - 7.35740454 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 7.35740454$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 1.94494897$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 \cdot 3.78282651 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $84$ per $3.78282651$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $114$ per $- 1.94494897$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 - 221.72418306 + 50$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 147.1480909$ e $317.75742705$ .

$f'' (- 1.94494897) = 170.60933614 - 221.72418306 + 50$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $221.72418306$ da $170.60933614$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 51.11484692 + 50$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $- 51.11484692$ e $50$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 1.11484692$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 1.11484692$ .

$- 1.11484692$

Passaggio 5.3

Per $- 1.94494897$ , la derivata seconda è $- 1.11484692$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1.84494897)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1.84494897)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.6$ nell'espressione.

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.6$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1.6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $84$ per $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $114$ per $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 81.92$ e $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $182.4$ da $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

Passaggio 6.2.2.3

Somma $- 49.28$ e $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.72$ .

$0.72$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 1.6$ , la derivata seconda è $0.72$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ .

Crescente su $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.35505102, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.17752551$ nell'espressione.

$f'' (- 1.17752551) = 20 {(- 1.17752551)}^{3} + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 1.17752551$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.17752551) = 20 \cdot - 1.63271723 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 1.63271723$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $- 1.17752551$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 \cdot 1.38656633 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $84$ per $1.38656633$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $114$ per $- 1.17752551$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 - 134.23790846 + 50$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 32.65434465$ e $116.471572$ .

$f'' (- 1.17752551) = 83.81722735 - 134.23790846 + 50$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $134.23790846$ da $83.81722735$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 50.42068111 + 50$

Passaggio 7.2.2.3

Somma $- 50.42068111$ e $50$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 0.42068111$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 0.42068111$ .

$- 0.42068111$

Passaggio 7.3

Per $- 1.17752551$ , la derivata seconda è $- 0.42068111$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 1.35505102, - 1)$ .

Decrescente su $(- 1.35505102, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.9$ nell'espressione.

$f'' (- 0.9) = 20 {(- 0.9)}^{3} + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $- 0.9$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.9) = 20 \cdot - 0.729 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 0.729$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $- 0.9$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 \cdot 0.81 + 114 (- 0.9) + 50$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $84$ per $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 + 114 (- 0.9) + 50$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $114$ per $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 - 102.6 + 50$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $- 14.58$ e $68.04$ .

$f'' (- 0.9) = 53.46 - 102.6 + 50$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $102.6$ da $53.46$ .

$f'' (- 0.9) = - 49.14 + 50$

Passaggio 8.2.2.3

Somma $- 49.14$ e $50$ .

$f'' (- 0.9) = 0.86$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.86$ .

$0.86$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $- 0.9$ , la derivata seconda è $0.86$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, \infty)$ .

Crescente su $(- 1, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$ .

$(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$

Passaggio 10