Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.7

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Passaggio 1.1.3.9

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

Passaggio 1.1.4.1.2

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.1.3

Scomponi $x {(2 - 5 x)}^{2}$ da $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.2

Sposta $- 15$ alla sinistra di $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.3

Riscrivi ${(2 - 5 x)}^{2}$ come $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ .

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.4

Espandi $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.5.1.2

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.5.1.3

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.5.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.5.1.5.1

Sposta $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.5.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.5.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.5.2

Sottrai $10 x$ da $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.6

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.7.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.8.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.8.1.1

Sposta $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.8.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.8.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.8.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.8.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Passaggio 1.1.4.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

Passaggio 1.1.4.9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

Passaggio 1.1.4.9.3

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

Passaggio 1.1.4.10

Sottrai $10 x$ da $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

Passaggio 1.1.4.11

Espandi $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.2.1

Sposta $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.3

Moltiplica $4$ per $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.6.1

Sposta $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.6.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.6.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.7

Moltiplica $- 20$ per $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.8

Moltiplica $4$ per $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.9

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.10

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.10.1

Sposta $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.10.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.12.10.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.10.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.10.3

Somma $1$ e $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.11

Moltiplica $25$ per $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.12.12

Moltiplica $4$ per $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Passaggio 1.1.4.13

Sottrai $80 x^{2}$ da $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Passaggio 1.1.4.14

Somma $500 x^{3}$ e $100 x^{3}$ .

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 180$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 180 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 180$ .

$- 360 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 360 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $16$ per $1$ .

$- 360 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- 625$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 625 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $4$ per $- 625$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Passaggio 1.2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Poiché $600$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $600 x^{3}$ rispetto a $x$ è $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.5.3

Moltiplica $3$ per $600$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

Passaggio 1.2.6

Riordina i termini.

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4$ da $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $4$ da $- 2500 x^{3}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $4$ da $1800 x^{2}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) - 360 x + 16 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $4$ da $- 360 x$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 16 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $4$ da $16$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2})$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Passaggio 2.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4) = 0$

Passaggio 2.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

Passaggio 2.2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci $0.4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Sostituisci $0.4$ nel polinomio.

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Eleva $0.4$ alla potenza di $3$ .

$- 625 \cdot 0.064 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Moltiplica $- 625$ per $0.064$ .

$- 40 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Passaggio 2.2.2.1.3.4

Eleva $0.4$ alla potenza di $2$ .

$- 40 + 450 \cdot 0.16 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Passaggio 2.2.2.1.3.5

Moltiplica $450$ per $0.16$ .

$- 40 + 72 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Passaggio 2.2.2.1.3.6

Somma $- 40$ e $72$ .

$32 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Passaggio 2.2.2.1.3.7

Moltiplica $- 90$ per $0.4$ .

$32 - 36 + 4$

Passaggio 2.2.2.1.3.8

Sottrai $36$ da $32$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 2.2.2.1.3.9

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 2.2.2.1.4

Poiché $0.4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $5 x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4}{5 x - 2}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Dividi $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ per $5 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$450 x^{2}$

$90 x$

$4$

Passaggio 2.2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 625 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$

Passaggio 2.2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $200 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					+	$200 x^{2}$	-	$80 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $200 x^{2} - 80 x$

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$

Passaggio 2.2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Passaggio 2.2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 10 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Passaggio 2.2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							-	$10 x$	+	$4$

Passaggio 2.2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 10 x + 4$

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$

Passaggio 2.2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$
										$0$

Passaggio 2.2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- 125 x^{2} + 40 x - 2$

Passaggio 2.2.2.1.6

Scrivi $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ come insieme di fattori.

$4 ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $5 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $5 x - 2$ uguale a $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $5 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 2$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Passaggio 2.5

Imposta $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ uguale a $0$ .

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = - 125$ , $b = 40$ e $c = - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (- 125 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $40$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $500$ per $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Sottrai $1000$ da $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $600$ come $10^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.4.1

Scomponi $100$ da $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.1

Eleva $40$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $500$ per $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.4.1.3

Sottrai $1000$ da $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4

Riscrivi $600$ come $10^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.4.1

Scomponi $100$ da $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}$

Passaggio 2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.1

Eleva $40$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $500$ per $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.5.1.3

Sottrai $1000$ da $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4

Riscrivi $600$ come $10^{2} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.4.1

Scomponi $100$ da $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Passaggio 2.5.2.5.3

Semplifica $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Passaggio 2.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Passaggio 2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$ vera.

$x = \frac{2}{5}, \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{2}{5}$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2}{5}$ nell'espressione.

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{2} {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{2}}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 (- 1) (\frac{2}{5}))}^{3}$

Passaggio 3.1.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 \cdot (- 1 (\frac{2}{5})))}^{3}$

Passaggio 3.1.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 2)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0^{3}$

Passaggio 3.1.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.3.3

Moltiplica $\frac{4}{25}$ per $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = 0$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{2}{5}$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ è $(\frac{2}{5}, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{2}{5}, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $0.25797958$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.25797958$ nell'espressione.

$f (0.25797958) = {(0.25797958)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Eleva $0.25797958$ alla potenza di $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 5$ per $0.25797958$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 1.28989794)}^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Sottrai $1.28989794$ da $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot {0.71010205}^{3}$

Passaggio 3.3.2.4

Eleva $0.71010205$ alla potenza di $3$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot 0.35806535$

Passaggio 3.3.2.5

Moltiplica $0.06655346$ per $0.35806535$ .

$f (0.25797958) = 0.02383049$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $0.02383049$ .

$0.02383049$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $0.25797958$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ è $(0.25797958, 0.02383049)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0.25797958, 0.02383049)$

Passaggio 3.5

Sostituisci $0.06202041$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.06202041$ nell'espressione.

$f (0.06202041) = {(0.06202041)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Eleva $0.06202041$ alla potenza di $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $- 5$ per $0.06202041$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 0.31010205)}^{3}$

Passaggio 3.5.2.3

Sottrai $0.31010205$ da $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot {1.68989794}^{3}$

Passaggio 3.5.2.4

Eleva $1.68989794$ alla potenza di $3$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot 4.82593464$

Passaggio 3.5.2.5

Moltiplica $0.00384653$ per $4.82593464$ .

$f (0.06202041) = 0.0185631$

Passaggio 3.5.2.6

La risposta finale è $0.0185631$ .

$0.0185631$

Passaggio 3.6

Il punto trovato sostituendo $0.06202041$ in $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ è $(0.06202041, 0.0185631)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0.06202041, 0.0185631)$

Passaggio 3.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{2}{5}, 0), (0.25797958, 0.02383049), (0.06202041, 0.0185631)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0.06202041) \cup (0.06202041, 0.25797958) \cup (0.25797958, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0.06202041)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.03797958$ nell'espressione.

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 {(- 0.03797958)}^{3} + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.03797958$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 \cdot - 0.00005478 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 2500$ per $- 0.00005478$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 0.03797958$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 \cdot 0.00144244 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $1800$ per $0.00144244$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $- 360$ per $- 0.03797958$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 + 13.67265229 + 16$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $0.13695907$ e $2.59640862$ .

$f'' (- 0.03797958) = 2.73336769 + 13.67265229 + 16$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $2.73336769$ e $13.67265229$ .

$f'' (- 0.03797958) = 16.40601999 + 16$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $16.40601999$ e $16$ .

$f'' (- 0.03797958) = 32.40601999$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $32.40601999$ .

$32.40601999$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.03797958$ , la derivata seconda è $32.40601999$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0.06202041)$ .

Crescente su $(- \infty, 0.06202041)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.06202041, 0.25797958)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.15\overline{9}$ nell'espressione.

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 {(0.15\overline{9})}^{3} + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.15\overline{9}$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 \cdot 0.004096 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2500$ per $0.004096$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $0.15\overline{9}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 \cdot 0.0256 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $1800$ per $0.0256$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 360$ per $0.15\overline{9}$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 57.6 + 16$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $- 10.24$ e $46.08$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = 35.84 - 57.6 + 16$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $57.6$ da $35.84$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 21.76 + 16$

Passaggio 6.2.2.3

Somma $- 21.76$ e $16$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 5.76$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 5.76$ .

$- 5.76$

Passaggio 6.3

Per $0.15\overline{9}$ , la derivata seconda è $- 5.76$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0.06202041, 0.25797958)$ .

Decrescente su $(0.06202041, 0.25797958)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.25797958, \frac{2}{5})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.32898979$ nell'espressione.

$f'' (0.32898979) = - 2500 {(0.32898979)}^{3} + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.32898979$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.32898979) = - 2500 \cdot 0.03560797 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2500$ per $0.03560797$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $0.32898979$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 \cdot 0.10823428 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $1800$ per $0.10823428$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $- 360$ per $0.32898979$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 118.43632614 + 16$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $- 89.01993814$ e $194.82171321$ .

$f'' (0.32898979) = 105.80177507 - 118.43632614 + 16$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $118.43632614$ da $105.80177507$ .

$f'' (0.32898979) = - 12.63455107 + 16$

Passaggio 7.2.2.3

Somma $- 12.63455107$ e $16$ .

$f'' (0.32898979) = 3.36544892$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $3.36544892$ .

$3.36544892$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.32898979$ , la derivata seconda è $3.36544892$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0.25797958, \frac{2}{5})$ .

Crescente su $(0.25797958, \frac{2}{5})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{2}{5}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.5$ nell'espressione.

$f'' (0.5) = - 2500 {(0.5)}^{3} + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.5) = - 2500 \cdot 0.125 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 2500$ per $0.125$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 \cdot 0.25 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $1800$ per $0.25$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $- 360$ per $0.5$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 180 + 16$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $- 312.5$ e $450$ .

$f'' (0.5) = 137.5 - 180 + 16$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $180$ da $137.5$ .

$f'' (0.5) = - 42.5 + 16$

Passaggio 8.2.2.3

Somma $- 42.5$ e $16$ .

$f'' (0.5) = - 26.5$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 26.5$ .

$- 26.5$

Passaggio 8.3

Per $0.5$ , la derivata seconda è $- 26.5$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{2}{5}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{2}{5}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$ .

$(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$

Passaggio 10