Calcolo Esempi

$y = 2 x \cos (x)$ , $(π, - 2 π)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = π$ e $y = - 2 π$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 1.6

Calcola la derivata per $x = π$ .

$- 2 π \sin (π) + 2 \cos (π)$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 2 π \sin (0) + 2 \cos (π)$

Passaggio 1.7.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 2 π \cdot 0 + 2 \cos (π)$

Passaggio 1.7.1.3

Moltiplica $- 2 π \cdot 0$ .

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Passaggio 1.7.1.3.1

Moltiplica $0$ per $- 2$ .

$0 π + 2 \cos (π)$

Passaggio 1.7.1.3.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$0 + 2 \cos (π)$

Passaggio 1.7.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$0 + 2 (- \cos (0))$

Passaggio 1.7.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 + 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.7.1.6

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 1.7.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Passaggio 1.7.1.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 2$ e un punto dato $(π, - 2 π)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 π) = - 2 \cdot (x - (π))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 2 \cdot (x - π)$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y + 2 π = 0 + 0 - 2 \cdot (x - π)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y + 2 π = - 2 \cdot (x - π)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 2 π = - 2 x - 2 (- π)$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y + 2 π = - 2 x + 2 π$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Sottrai $2 π$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2 x + 2 π - 2 π$

Passaggio 2.3.2.2

Combina i termini opposti in $- 2 x + 2 π - 2 π$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Sottrai $2 π$ da $2 π$ .

$y = - 2 x + 0$

Passaggio 2.3.2.2.2

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$y = - 2 x$

Passaggio 3