Calcolo Esempi

$y = x \sqrt{x}$ , $(9, 27)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 9$ e $y = 27$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Passaggio 1.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.9

Calcola la derivata per $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

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Passaggio 1.10.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.10.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.10.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.10.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 1.10.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Passaggio 1.10.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2}$

Passaggio 1.10.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3^{1 + 1}}{2}$

Passaggio 1.10.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3^{2}}{2}$

Passaggio 1.10.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9}{2}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{9}{2}$ e un punto dato $(9, 27)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (27) = \frac{9}{2} \cdot (x - (9))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{9}{2} \cdot (x - 9)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 27 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 27 = \frac{9}{2} \cdot (x - 9)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 27 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{9}{2}$ e $x$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot - 9$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{9}{2} \cdot - 9$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{9}{2}$ e $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{9 \cdot - 9}{2}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $9$ per $- 9$ .

$y - 27 = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81}{2}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - 27 = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $27$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $27$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

$27$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{81}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 27 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $27$ per $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 81 + 54}{2}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 81$ e $54$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{- 27}{2}$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{9 x}{2} - \frac{27}{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{9}{2} x - \frac{27}{2}$

Passaggio 3