Calcolo Esempi

$y = 7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ , $(\frac{π}{2}, 5)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = \frac{π}{2}$ e $y = 5$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \csc (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 (- \csc (x) \cot (x))$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$0 - \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Sottrai $\csc^{2} (x)$ da $0$ .

$- \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$2 \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)$

Passaggio 1.5

Calcola la derivata per $x = \frac{π}{2}$ .

$2 \cot (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1.1

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.6.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.6.1.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.6.1.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.6.1.5

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 - 1^{2}$

Passaggio 1.6.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.6.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $- 1$ e un punto dato $(\frac{π}{2}, 5)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 5 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 5 = - 1 x - 1 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y - 5 = - x - 1 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y - 5 = - x + 1 \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$y - 5 = - x + \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - x + \frac{π}{2} + 5$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - x + \frac{π + 5 \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $5$ per $2$ .

$y = - x + \frac{π + 10}{2}$

Passaggio 3