Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 7}$ ; $(2, \frac{4}{9})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = \frac{4}{9}$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 7$ .

$\frac{2 \cdot (x + 7) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{2 x^{2} + 14 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $x$ da $x^{2} + 14 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $x$ da $14 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 14}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 14$ .

$\frac{x (x + 14)}{{(x + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 2$ .

$\frac{(2) ((2) + 14)}{{((2) + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Somma $2$ e $14$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(2 + 7)}^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Somma $2$ e $7$ .

$\frac{2 \cdot 16}{9^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{81}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{32}{81}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $\frac{32}{81}$ e un punto dato $(2, \frac{4}{9})$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{4}{9}) = \frac{32}{81} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{32}{81} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{4}{9} = 0 + 0 + \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} x + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$\frac{32}{81}$ e $x$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $\frac{32}{81} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

$\frac{32}{81}$ e $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32 \cdot - 2}{81}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $32$ per $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64}{81}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $\frac{4}{9}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9}$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $\frac{4}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 2.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $81$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{4}{9}$ per $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{81}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 4 \cdot 9}{81}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $4$ per $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 36}{81}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $- 64$ e $36$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 28}{81}$

Passaggio 2.3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{28}{81}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$y = \frac{32}{81} x - \frac{28}{81}$

Passaggio 3