Calcolo Esempi

$x \cos (y) = 1$ , $(2, \frac{π}{3})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = \frac{π}{3}$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Passaggio 1.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Moltiplica $\cos (y)$ per $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Passaggio 1.2.5.2

Riordina i termini.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Passaggio 1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riordina i fattori in $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $\cos (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $- x \sin (y)$ ciascun termine in $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $- x \sin (y)$ ciascun termine in $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $\sin (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Frazioni separate.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Passaggio 1.5.3.3.3

Converti da $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ a $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Passaggio 1.5.3.3.4

$\frac{1}{x}$ e $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 2$ e $y = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$\frac{\cot (y)}{2}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$\frac{\cot (\frac{π}{3})}{2}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Il valore esatto di $\cot (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{2}$

Passaggio 1.7.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.7.5

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.7.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $\frac{\sqrt{3}}{6}$ e un punto dato $(2, \frac{π}{3})$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica $\frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - \frac{π}{3} = 0 + 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6} x + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.2.2

$\frac{\sqrt{3}}{6}$ e $x$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 (3)} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.2.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.1.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.2.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $- 1$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{3}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Riscrivi $- 1 \sqrt{3}$ come $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y - \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{π}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- \sqrt{3} + π}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) + π}{3}$

Passaggio 2.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $π$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- π)}{3}$

Passaggio 2.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (\sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- (\sqrt{3} - π)}{3}$

Passaggio 2.3.3.5

Riscrivi $- (\sqrt{3} - π)$ come $- 1 (\sqrt{3} - π)$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} + \frac{- 1 (\sqrt{3} - π)}{3}$

Passaggio 2.3.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{6} - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Passaggio 2.3.3.7

Riordina i termini.

$y = \frac{\sqrt{3}}{6} x - \frac{\sqrt{3} - π}{3}$

Passaggio 3