Calcolo Esempi

${(e^{4 x} - 2)}^{2}$ , $(0, 1)$

Passaggio 1

Scrivi ${(e^{4 x} - 2)}^{2}$ come un'equazione.

$y = {(e^{4 x} - 2)}^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima e risolvi $x = 0$ e $y = 1$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{4 x} - 2$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{4 x} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{4 x} - 2$ .

$2 (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{4 x} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.4.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (4 \cdot e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 2.4.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x} + 0)$

Passaggio 2.4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.5.1

Somma $4 e^{4 x}$ e $0$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x})$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 (e^{4 x} - 2) e^{4 x}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(8 e^{4 x} + 8 \cdot - 2) e^{4 x}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 e^{4 x} e^{4 x} + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

Passaggio 2.5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $e^{4 x}$ per $e^{4 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.5.3.1.1

Sposta $e^{4 x}$ .

$8 (e^{4 x} e^{4 x}) + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 e^{4 x + 4 x} + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$8 e^{8 x} + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

Passaggio 2.5.3.2

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$8 e^{8 x} - 16 e^{4 x}$

Passaggio 2.6

Calcola la derivata per $x = 0$ .

$8 e^{8 (0)} - 16 e^{4 (0)}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

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Passaggio 2.7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.7.1.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$8 e^{0} - 16 e^{4 (0)}$

Passaggio 2.7.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$8 \cdot 1 - 16 e^{4 (0)}$

Passaggio 2.7.1.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 - 16 e^{4 (0)}$

Passaggio 2.7.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$8 - 16 e^{0}$

Passaggio 2.7.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$8 - 16 \cdot 1$

Passaggio 2.7.1.6

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$8 - 16$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $16$ da $8$ .

$- 8$

Passaggio 3

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Usa il coefficiente angolare $- 8$ e un punto dato $(0, 1)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 8 \cdot (x - (0))$

Passaggio 3.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 1 = - 8 \cdot (x + 0)$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$y - 1 = - 8 x$

Passaggio 3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 8 x + 1$

Passaggio 4