Calcolo Esempi

$\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 5.3

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.4.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2} - 3) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int (7 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{1 - 1}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 6.6.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 (0)}{2}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \int 7 x^{\frac{0}{1}} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 x^{0} - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.7

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 \cdot 1 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.8

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.10

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.11

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.13

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.13.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{4 - 1}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.13.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{1}{4} \int 7 - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.14

Riordina $7$ e $- 3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} + 7 - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6.15

Sposta $7$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}} + 7 d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int - 3 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Passaggio 8

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (- 3 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 3 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Passaggio 10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 7 d x)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 7 d x)$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- 3 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 7 x + C)$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$\frac{1}{4} (- \frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{7 \sqrt{x} - 3 x^{2} - 3}{4 \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (- \frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 7 x) + C$