Calcolo Esempi

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Scrivi ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come funzione.

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \sqrt{{(9 - x^{2})}^{1}} d x$

Passaggio 5

Sia $x = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Semplifica $\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{1}}$ .

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Passaggio 6.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{(9 - (3^{2} \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{{(9 - (9 \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int \sqrt{{(9 - 9 \sin^{2} (t))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int \sqrt{{(9 (1) - 9 \sin^{2} (t))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{{(9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{(9 (1 - \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{{(9 \cos^{2} (t))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.6

Semplifica.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.7

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 6.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 6.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 6.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 6.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 11

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 13

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 13.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 13.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 13.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 14

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 15

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 16

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 17

Semplifica.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 18

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 18.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 18.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 18.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 19

Semplifica.

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Passaggio 19.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Passaggio 19.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Passaggio 19.3

$\frac{9}{2}$ e $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Passaggio 19.4

Moltiplica $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

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Passaggio 19.4.1

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 19.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

Passaggio 20

Riordina i termini.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

Passaggio 21

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$