Calcolo Esempi

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ come $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 4.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 4.3.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.3.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Passaggio 4.3.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Passaggio 4.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4.3.2

Riordina i fattori di $\sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4.3.3

Somma $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4.4

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 4.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 4.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.6.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

Passaggio 4.6.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

Passaggio 4.6.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

Passaggio 7

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 8

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Passaggio 10

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$